Dipol (elektrodynamik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 mars 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

Dipol ( franska dipôle , från grekiska di (s) "två gånger" + polos "axel", "pol", bokstavligen - "två (x) poler") - ett idealiserat system som tjänar till att approximera beskrivningen av fältet som skapas av fler komplexa systemavgifter , såväl som för en ungefärlig beskrivning av verkan av ett externt fält på sådana system.

Ett typiskt och standardexempel på en dipol är två laddningar, lika stora och motsatta i tecken, belägna på ett mycket litet avstånd från varandra jämfört med avståndet till observationspunkten. Fältet för ett sådant system beskrivs fullständigt av dipolapproximationen eftersom avståndet mellan laddningarna tenderar till noll, samtidigt som produkten av laddningens storlek och avståndet mellan laddningarna bibehålls - konstant (eller tenderar till en ändlig gräns; detta konstant eller så kommer denna gräns att vara dipolmomentet för ett sådant system).

Dipolapproximationen , som vanligtvis antyds när man talar om dipolfältet , är baserad på att expandera fältpotentialerna till en serie i potenser av radievektorn som kännetecknar positionen för källladdningarna, och förkasta alla termer över första ordningen [1] .
De resulterande funktionerna kommer effektivt att beskriva fältet om:

dimensionerna på systemet som skapar eller sänder ut fältet (ett område som innehåller laddningar) är små jämfört med de betraktade avstånden, så att förhållandet mellan systemets karaktäristiska storlek och längden på radievektorn är litet och det är meningsfullt att ta hänsyn till endast de första termerna av expansionen av potentialer i en serie;
den första ordningens termen i expansionen är inte lika med 0, annars måste den högre multipolapproximationen användas ;
ekvationerna tar hänsyn till potentiella gradienter som inte är högre än den första ordningen.

Dipolmoment för systemet

Elektrisk dipol

En elektrisk dipol är ett idealiserat elektriskt neutralt system som består av punkt och lika i absolut värde positiva och negativa elektriska laddningar .

Med andra ord är en elektrisk dipol en samling av två motsatta punktladdningar, lika i absolut värde, belägna på något avstånd från varandra.

Produkten av en vektor som dras från en negativ laddning till en positiv av laddningarnas absoluta värde kallas dipolmomentet: $\vecl,$ $q\,,$ $\vec d=q\vec l.$

I ett externt elektriskt fält verkar ett kraftmoment på en elektrisk dipol, som tenderar att rotera den så att dipolmomentet vänder sig i fältets riktning. $\vec E$ ${\vec d}\times{\vec E},$

Den potentiella energin för en elektrisk dipol i ett (konstant) elektriskt fält är $-{\vec E}\cdot{\vec d}.$

Långt ifrån en elektrisk dipol minskar styrkan på dess elektriska fält med avståndet , dvs snabbare än en punktladdning ( ) . $R$ $R^{-3},$ $E \sim R^{-2}$

Dipolapproximation för det elektrostatiska fältet i ett neutralt system

Varje allmänt elektriskt neutralt system som innehåller elektriska laddningar, i någon approximation (det vill säga i själva dipolapproximationen ) kan betraktas som en elektrisk dipol med ett moment där laddningen av det th elementet är dess radievektor. I detta fall kommer dipolapproximationen att vara korrekt om avståndet vid vilket systemets elektriska fält studeras är stort jämfört med dess karakteristiska dimensioner. $\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,$ $q_{i}$ $i$ ${\vec r}_i$

I punktapproximationen ges fältet som genereras av en dipol i en punkt med en radievektor av följande relation: ${\vec {r))$

{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3{\vec {r}}({\vec {r}}, {\vec {d}})-{r^{2}}{\vec {d}}}{r^{5}}}

Dipolapproximation för det elektrostatiska fältet i ett icke-neutralt system

Ett icke-elektriskt neutralt system kan uppenbarligen representeras som en summa (superposition) av ett elektriskt neutralt system och en punktladdning. För att göra detta räcker det att någonstans inuti systemet placera en punktladdning motsatt dess totala laddning, och vid samma punkt en annan punktladdning lika med dess totala laddning. Betrakta sedan den första laddningen tillsammans med resten av systemet (dess dipolmoment kommer uppenbarligen att vara lika med dipolmomentet beräknat med formeln ovan, om vi tar positionen för den adderade punktladdningen som origo för koordinater: då den adderade laddningen själv kommer inte in i uttrycket). Den andra punktladdningen ger ett Coulomb-fält.

Det vill säga, långt ifrån ett sådant system kommer det elektrostatiska fältet som skapas av det, i dipolapproximationen, att vara summan (superposition) av Coulomb-fältet som skapas av laddningen av detta system , villkorligt placerat någon gång inuti laddningssystemet , och dipolfältet med moment , där radievektorerna är hämtade från positionsladdningen Det är inte svårt att visa att ett sådant fält i dipolapproximationen inte beror på det godtyckligt (men nödvändigtvis inom laddningssystemet eller mycket nära till it) vald position för punktladdningen, eftersom korrigeringen i den erforderliga ordningen kommer att kompenseras av en förändring i det beräknade dipolmomentet (trots allt är att flytta laddningens position med några ekvivalent med att lägga på en dipol med moment ). $Q=\sum _{i}q_{i},$ $\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,$ $Q.$ $Q,$ $F$ ${\vec D}$ $Q{\vec {D}}$

Magnetisk dipol

En magnetisk dipol är en analog till en elektrisk, som kan ses som ett system av två "magnetiska laddningar" - magnetiska monopoler . Denna analogi är villkorad, eftersom inga magnetiska laddningar har upptäckts. Som en modell av en magnetisk dipol kan man betrakta en liten (jämfört med avstånden vid vilka det magnetiska fältet som genereras av dipolen emitteras ) platt sluten ledande ram av området längs med vilken strömmen flyter. I detta fall det magnetiska momentet av dipolen (i CGSM- systemet ) är värdet där är en enhetsvektor riktad vinkelrätt slingplan i den riktning i vilken strömmen i slingan verkar flyta i medurs riktning. $S\,,$ $jag\,.$ ${\vec \mu} = IS {\vec n},$ ${\vec n}$

Uttrycken för vridmomentet som verkar från magnetfältet på den magnetiska dipolen, och den potentiella energin för en permanent magnetisk dipol i ett magnetfält, liknar motsvarande formler för interaktionen mellan en elektrisk dipol och ett elektriskt fält, endast den magnetiska moment och den magnetiska induktionsvektorn ingår där : $\vec M$ $U$ $\vec m$ ${\vec {B}}$

{\vec {M}}={\vec {m}}\ gånger {\vec {B}},

U = - \vec m \cdot \vec B.

Fältet för en oscillerande dipol

Det här avsnittet betraktar fältet som skapas av en elektrisk punktdipol belägen vid en given punkt i rymden. $\mathbf{d}(t),$

Fält på nära avstånd ( nära zon )

Fältet för en punktdipol som oscillerar i vakuum har formen

\mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} + \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot{\mathbf{d)) - \dot{\mathbf{d))}{c R^2} + \frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ ddot{\mathbf{d}}) - \ddot{\mathbf{d}}}{c^2 R}

\mathbf {B} =\left[{\frac {\dot {\mathbf {d} }}{cR^{2}}}+{\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{ Rc^{2))},\mathbf {n} \right]=\left[\mathbf {n} ,\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {d} }{R^{3))} \höger],

där är enhetsvektorn i den betraktade riktningen, är ljusets hastighet. $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}$ $c$

Dessa uttryck kan ges en något annorlunda form genom att introducera den hertziska vektorn

\mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right).

Kom ihåg att dipolen är i vila vid origo, så den är en funktion av en variabel. Sedan $\mathbf{d}$

\mathbf{E} = - \operatörsnamn{rot}\,\operatörsnamn{rot}\,\mathbf{Z},

\mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatörsnamn{rot}\,\dot{\mathbf{Z}}.

I detta fall kan fältpotentialerna väljas i formuläret

\mathbf{A} = - \frac{\dot{\mathbf{Z}}}{c}, ~~ \phi = \operatörsnamn{div}\,\mathbf{Z}.

Dessa formler kan användas närhelst dipolapproximationen är tillämplig.

Dipolstrålning (strålning i vågzonen eller fjärrzonen )

Ovanstående formler förenklas avsevärt om dimensionerna på systemet är mycket mindre än våglängden för den emitterade vågen, det vill säga laddningshastigheterna är mycket mindre än c , och fältet anses på avstånd som är mycket större än våglängden. Denna del av fältet kallas vågzonen . Den utbredningsvågen i denna region kan anses vara praktiskt taget platt . Av alla termer i uttrycken för och är endast termerna som innehåller andraderivatan av signifikanta, eftersom $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{d},$

\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c} \approx \frac{d}{\lambda},

\frac{\ddot{\mathbf{d}}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}.

Uttrycken för fälten i CGS-systemet har formen

{\mathbf {H}}={\frac {1}{c^{2}R}}[{\ddot ({\mathbf {d}}}},{\mathbf {n}}],~~{ \mathbf {H}}=[{\mathbf {n}},{\mathbf {E}}],

\mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \ mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}].

I en plan våg är strålningsintensiteten i en rymd vinkel $d\Omega$

dI=c{\frac {H^{2}}{4\pi }}R^{2}d\Omega ,

så för dipolstrålning

dI={\frac {1}{4\pi c^{3))}[{\ddot {\mathbf {d} )),\mathbf {n} ]^{2}d\Omega ={ \frac {{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}}{4\pi c^{3}}}\sin ^{2}{\theta }d\Omega .

var är vinkeln mellan vektorerna och Låt oss hitta den totala utstrålade energin. Med tanke på att vi integrerar uttrycket över från till Den totala strålningen är lika med $\theta$ $\ddot{\mathbf{d}}$ $\mathbf{n}.$ $d\Omega =2\pi \,\sin {\theta }\,d\theta ,$ $d\theta$ $0$ $\pi.$

I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot{\mathbf{d))}^2.

Låt oss ange strålningens spektrala sammansättning. Det erhålls genom att ersätta vektorn med dess Fourier-komponent och samtidigt multiplicera uttrycket med 2. Alltså, $\ddot{\mathbf{d}}$

d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}.

Se även

Anteckningar

↑ För fallet med elektrostatik , magnetostatik , etc. detta betyder att termerna med potenser av radievektorn från dipolen till observationspunkten −1 och −2 bevaras i potentialen; i fallet med ett rent dipolfält (när källsystemet har en total laddning noll) endast av grad −2.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Akhmanov S. A., Nikitin S. Yu. , "Fysisk optik", 2004.