Differentiell inkludering (matematik)

Differentialinkludering är en generalisering av konceptet med en differentialekvation :

{\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)

där den högra sidan (*) är en mappning med flera värden som associerar varje par av variabler med en icke-tom kompakt uppsättning i rymden. En lösning av en differentiell inkludering (*) brukar kallas en absolut kontinuerlig funktion som uppfyller en given inneslutning för nästan alla värden En sådan definition av en lösning förknippas i första hand med tillämpningar av differentiella inneslutningar i kontrollteori. $t\in \mathbb {R}$ $x \in \mathbb{R}^n$ $F(t,x)$ $\mathbb{R}^n.$ $x(t),$ $t.$

Ursprunget till teorin om differentiella inneslutningar förknippas vanligtvis med namnen på den franske matematikern Marchaud och den polske matematikern Stanislaw Zaremba (verk från mitten av 1930-talet), men ett stort intresse för dem uppstod först efter upptäckten av Pontryagin-maximumprincipen och den intensiva utvecklingen av teorin om optimal kontroll associerad med den. Differentialinklusioner används också som ett verktyg för att studera differentialekvationer med en diskontinuerlig högersida ( A.F. Filippov ) och i teorin om differentialspel ( N.N. Krasovskii ).

Anslutning av differentialinneslutningar med kontrollerade system

Tänk på ett kontrollerat system

{\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)

där det finns en liten delmängd. Systemet (**) kan skrivas som en differentiell inkludering (*) genom att ställa in . Under ganska allmänna antaganden är ett kontrollerat system (**) ekvivalent med en differentiell inkludering (*), dvs. för alla inkluderingslösningar (*) finns en sådan tillåten kontroll att funktionen kommer att vara systemets bana (**) med denna kontroll. Detta uttalande kallas för A.F.s lemma. Filippov. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \förallt u\i U\))$ $x(t)$ $u(t)\in U,$ $x(t)$

Relaterade begrepp

Kontingens ( kontingentderivat ) och paratingens är generaliseringar av begreppet derivat som introducerades på 1930-talet.

Kontingensen för en vektorfunktion vid en punkt är mängden av alla gränspunkter för sekvenser $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Forts.}}\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad i=1,2,\ldots

Paratingensen för en vektorfunktion vid en punkt är mängden av alla gränspunkter för sekvenser $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Parat))\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots

Kontingens och paratingens är exempel på mappningar med flera värden . Till exempel, för en funktion vid en punkt, består mängden av två punkter: och mängden är ett segment $x(t)=|t|$ $t_{0}=0$ ${\textrm {Forts.}}\ x(0)$ $\pm1,$ ${\textrm {Parat))\ x(0)$ $[-1,+1].$

I allmänhet, alltid . Om det finns en vanlig derivata, då och om den vanliga derivatan finns i någon omgivning av punkten och är kontinuerlig vid denna punkt själv, då . ${\textrm {Forts.}}\subset {\textrm {Parat}}$ $x'(t_{0}),$ ${\textrm {Forts.}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ $x'(t)$ $t_0$ ${\textrm {Forts.}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$

Litteratur

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskiy V. V. Introduktion till teorin om flervärdiga mappningar och differentiella inneslutningar, — Vilken utgåva som helst.
Blagodatskikh V. I. Introduktion till optimal kontroll, Higher School, Moskva, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Differentiella inneslutningar och optimal kontroll , - Tr. MIAN, vol 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Theory of extremal problems, Fizmatlit, Moskva, 1974.
A. F. Filippov . På några frågor om optimal kontroll. - Bulletin från Moscow State University, Matem. och mech., N2 (1959).
A. F. Filippov. Differentialekvationer med diskontinuerlig högersida. — M .: Nauka, 1985.
A. cellina . EN VISNING PÅ DIFFERENTIALINKLUSIONER , -Rend . Sem. Matta. Univ. Paul Torino - Vol. 63, 3 (2005).