Flervärdesdisplay

Multivalued mappning är ett slags matematiskt begrepp för mappning ( funktion ). Låt och vara godtyckliga mängder, och var samlingen av alla delmängder av mängden . En mappning med flera värden från en mängd till är vilken mappning som helst. Vanligtvis är domänen för en mappning med flera värden delmängden , och domänen av värden är utrymmet bestående av icke-tomma kompakta delmängder av uppsättningen , dvs. $X$ $Y$ $2^{Y}$ $Y.$ $X$ $Y$ $F:\ X\to 2^{Y}.$ $F$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega (Y)\subset 2^{Y},$ $Y\subset \mathbb {R} ^{m},$ $F:X\to \Omega (Y).$

Exempel 1. Låt . Genom att tilldela ett segment till varje värde får vi en mappning med flera värden $X=Y=\mathbb {R}$ $x\i X$ $[-|x|,\,|x|],$ $F:\mathbb {R} \to \Omega (\mathbb {R} ).$

Exempel 2. Låta vara en kontinuerlig funktion. Genom att sätta och tilldela varje värde en uppsättning, får vi en mappning med flera värden $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ $X=[\min f,+\infty ]$ $Y=[0,1].$ $x\i X$ $M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},$ $F:X\to \Omega (Y).$

Exempel 3. Kontingens och paratingens .

Mappningar med flera värden hittar tillämpningar inom olika områden av matematik: icke-slät och konvex analys, teorin om differentialekvationer, kontrollteori , spelteori och matematisk ekonomi .

Relaterade definitioner och egenskaper

Utrymmet är metriskt med Hausdorff-måttet . Detta tillåter oss att introducera begreppet en kontinuerlig mappning med uppsättningsvärden. $\Omega (\mathbb {R} ^{m})$
Med tanke på var och en av uppsättningens stödfunktion får vi en verkligt värderad funktion av två argument: och , där asterisken betyder det dubbla utrymmet . $x \in \mathbb{R}^n$ $F(x)\in \Omega (\mathbb {R} ^{m}),$ $c(F(x),\psi )$ $x \in \mathbb{R}^n$ $\psi \in (\mathbb {R} ^{n})^{*}$
En mappning med uppsättningsvärde är kontinuerlig om och endast om dess stödfunktion är variabel-kontinuerlig för varje fast . $F$ $c(F(x),\psi )$ $x$ $\psi$
En multivalued mappning sägs vara mätbar om dess stödfunktion är mätbar med avseende på variabeln för varje fix . $c(F(x),\psi )$ $x$ $\psi$
En entydig gren- eller mappningsväljare med flera värden är en funktion sådan att för någon $F:\mathbb {R} ^{n}\to \Omega (\mathbb {R} ^{m})$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ $f(x)\in F(x)$ $x\in \mathbb {R} ^{n}.$
Filippovs Lemma : Varje mätbar uppsättningsvärderad mappning har en mätbar väljare. Filippovs lemma har många tillämpningar. I synnerhet tillåter det en att fastställa förekomsten av en optimal kontroll för en bred klass av problem i teorin om kontrollerade system .
En mappning med mängdvärde kallas övre semikontinuerlig (genom inkludering) vid en punkt om det för någon grannskap av mängden (betecknad med ) finns en sådan grannskap av punkten (låt oss beteckna den med ) att för varje mappning med värdevärde är det kallas övre semikontinuerlig (genom inkludering) om den är övre semikontinuerlig vid varje punkt . En kontinuerlig flervärdig mappning (definierad av Hausdorff-måttet) är övre semikontinuerlig. $F:X\to \Omega (Y)$ $x_{0}\i X$ $F(x_{0})\in \Omega (Y)$ $V(F(x_{0}))$ $x_{0}\i X$ $U(x_{0})$ $F(x)\subset V(F(x_{0}))$ $x\in U(x_{0}).$ $F:X\to \Omega (Y)$ $x\i X.$
Kakutanis teorem : Låt vara en icke-tom, kompakt, konvex delmängd och en mängdvärderad mappningsom har kompakta, konvexa mängder som sina värden och är övre halvkontinuerlig genom inkludering. Sedan har kartläggningenen fast punkt , dvsKakutanis sats har många tillämpningar inom spelteori . I synnerhet kan den användas för att enkelt bevisa ett grundläggande resultat av spelteorin, Nash-satsen om förekomsten av en jämvikt i ett icke-samarbetsspel. $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $F:X\to \Omega (X)$ $F$ $x_{*}\in X,$ $x_{*}\in F(x_{*}).$

Se även

Litteratur

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D., Obukhovskiy V. V. Introduktion till teorin om flervärdiga mappningar och differentiella inneslutningar, — Vilken utgåva som helst.
Blagodatskikh V. I. Introduktion till optimal kontroll, Higher School, Moskva, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Differentiella inneslutningar och optimal kontroll , - Tr. MIAN, vol 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Theory of extremal problems, Fizmatlit, Moskva, 1974.
Pshenichny B. N. Konvex analys och extrema problem, Nauka, Moskva, 1980.
Vorobyov N. N. Grunderna i spelteori. Icke-kooperativa spel, Nauka, Moskva, 1984.