Jordan matris

Jordan-matrisen är en kvadratisk block-diagonal matris över fältet , med block av formen $\mathbb {K}$

J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\dots &\dd \ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}.

Varje block kallas en Jordan-cell med ett egenvärde (egenvärdena i olika block kan generellt vara desamma). $J_{\lambda }$ $\lambda$

Enligt Jordans normalformsats, för en godtycklig kvadratisk matris över ett algebraiskt slutet fält (som fältet med komplexa tal ), finns det en kvadratisk icke-degenererad (det vill säga inverterbar, med en icke-noll determinant) matris över , Så att $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ $C$ $\mathbb {K}$

J=C^{{-1}}A\,C

är en Jordan-matris. Detta kallas Jordan-formen (eller Jordan-normalformen ) av matrisen . I det här fallet sägs Jordan-matrisen i fältet också likna (eller konjugera till ) den givna matrisen . Och vice versa, på grund av motsvarande förhållande $J$ $A$ $J$ $\mathbb {K}$ $A$

A=CJC^{{-1}}

matrisen liknar matrisen i fältet . Det är lätt att visa att likhetsrelationen som introduceras på detta sätt är en ekvivalensrelation och delar upp mängden av alla kvadratiska matriser av en given ordning över ett givet fält i disjunkta ekvivalensklasser. Jordan-formen av en matris är inte unikt definierad, utan upp till Jordan-cellers ordning. Mer exakt, två Jordan-matriser är lika om och bara om de är sammansatta av samma Jordan-celler och skiljer sig från varandra endast genom placeringen av dessa celler på huvuddiagonalen. $A$ $\mathbb {K}$ $J$ $\mathbb {K}$

Egenskaper

Antalet Jordan-celler av ordning med ett egenvärde i Jordan-formen av matrisen kan beräknas med formeln $n$ $\lambda$ $A$ $c_{n}(\lambda )=\operatörsnamn {rank}(A-\lambda I)^{{n-1}}-2\operatörsnamn {rank}(A-\lambda I)^{{n}}+ \operatörsnamn {rank}(A-\lambda I)^{{n+1}},$

där är identitetsmatrisen av samma ordning som , symbolen anger matrisens rangordning , och är per definition lika med ordningen på . Ovanstående formel följer av jämlikheten

jag

A

\operatörsnamn {rank}

\operatörsnamn {rank}(A-\lambda I)^{0}

A

\operatörsnamn {rank}(A-\lambda I)=\operatörsnamn {rank}(J-\lambda I).

Om fältet inte är algebraiskt stängt är det nödvändigt och tillräckligt att fältet innehåller alla rötter till det karakteristiska polynomet i matrisen för att matrisen ska vara likadan över någon Jordan-matris . $\mathbb {K}$ $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $A$
I en hermitisk matris har alla Jordan-celler storlek 1.
Är matrisen för en linjär operator i den kanoniska basen.
Jordanformerna av två liknande matriser sammanfaller upp till cellordningen.

Historik

Jordan var en av de första som övervägde en sådan form av matrisen .

Variationer och generaliseringar

Över fältet av reella tal kan matrisegenvärdena (det vill säga rötterna till det karakteristiska polynomet) vara både reella och komplexa, och de komplexa egenvärdena, om några, finns närvarande i par tillsammans med deras komplexa konjugat: , där och är reella tal, . I det verkliga rummet motsvarar ett sådant par av komplexa egenvärden blocket , och matriser som även innehåller block av den form som motsvarar par av komplexa egenvärden läggs till ovanstående typ av Jordan-matriser : [1] [2] $\lambda _{{1,2}}=\alpha \pm i\beta$ $\alfa$ $\beta$ $\beta \neq 0$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$

J_{{\lambda _{{1,2}}}}=\left({\begin{array}{cccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots&0&0&0 \0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ts &ddots &\ \vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-\cdots &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\right).

Jordans normalformsats är ett specialfall av satsen om strukturen av ändligt genererade moduler över huvudsakliga idealdomäner . Faktum är att klassificeringen av matriser motsvarar klassificeringen av linjära operatorer , och vektorrum över ett fält med en fast linjär operator motsvarar bijectively moduler över en polynomring (multiplikation av en vektor med ges som en tillämpning av en linjär operator). $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$ $x$

Utöver Jordans normalform övervägs ett antal andra typer av matrisnormalformer (till exempel Frobenius normalform ). De beaktas i synnerhet när markfältet inte innehåller alla rötter till det karakteristiska polynomet i den givna matrisen.

Se även

Weirs kanoniska form

Anteckningar

↑ Faddeev D.K. föreläsningar om algebra. Moskva: Nauka, 1984.
↑ Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Matrisanalys. — M .: Mir, 1989 ( ISBN 5-03-001042-4 ).

Litteratur

Halmos P. Finitdimensionella vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 sid.
Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M .: Nauka, 1966. — 576 sid.
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson). Matrisanalys. — M .: Mir, 1989, 655 s., ill. ( ISBN 5-03-001042-4 ).
Gelfand I. M. föreläsningar om linjär algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Föreläsningar om algebra. Moskva: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Kim, G. D. Linjär algebra och analytisk geometri, Moskva, 2005.
V.V. Kolybasova, N. Ch. Krutitskaya, A.V. Ovchinnikov. Jordan form operatörsmatris
P. Aluffi. Algebra: Kapitel 0 (Forskarstudier i matematik). - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .