Weirs kanoniska form

Den kanoniska Weir -formen ( Weir- form , Weir- matris , modifierad Jordan-form , omarrangerad Jordan-form , andra Jordan-form , H-form [1] ) är en kvadratisk matris som uppfyller vissa villkor, introducerad av den tjeckiske matematikern Eduard Weyr ( tjeck. Eduard Weyr ) 1885 [2] [3] [4] .

Formen användes inte i stor utsträckning inom matematisk forskning, eftersom den istället användes nära i syfte, men skilde sig från den, den kanoniska formen av Jordan [4] , på grund av formens låga popularitet återupptäcktes den flera gånger [5] . Formen fick berömmelse i slutet av 1990-talet och början av 2000-talet på grund av dess användning inom bioinformatik för fylogenetiska invarianter.

Definitioner

Weir elementär matris

En elementär Weir-matris med ett egenvärde är en matris av följande form: $\lambda$ $n\ gånger n$ $W$

Låt en partition ges

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n

siffror , där sådana att när betraktas som en block -matris , där det -:e blocket är en matris och följande tre villkor är uppfyllda:

n

n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant \cdots \geqslant n_{r}\geqslant 1

W

r\times r

(W_{ij})

(I j)

W_{ij}

{\displaystyle n_{i}\times n_{j))

Blocken i huvuddiagonalen är skalära matriser , där . ${\displaystyle W_{ii))$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i))$ $\lambda I$ $i=1,\ldots ,r$
Blocken i den första superdiagonalen är matriser med full kolumnrang , med en radstegad form (det vill säga en identitetsmatris följt av noll rader), där . $W_{i,i+1}$ $n_{i}\times n_{i+1}$ $i=1,\ldots ,r-1$
Alla andra block i matrisen är noll (det vill säga där ). $W$ $W_{ij}=0$ $j\neq i,i+1$

I det här fallet sägs det ha en Weir-struktur . $W$ $(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r})$

Ett exempel på en elementär Weir-matris:

W={}

{}={\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}&&\\&W_{22}&W_{23}&\\&&W_{33}&W_{34}\\&&&W_{44}\\ \end{bmatrix}}.

I denna matris och . Alltså har matrisen en Weir-struktur . Också $n=10$ $n_{1}=4,\ n_{2}=2,\ n_{3}=2,\ n_{4}=1$ $W$ $(4,2,2,1)$

W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda &0&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix))=\lambda I_{4}, \quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix} \lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{1}

och

W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix)),\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.

General Weir-matris

Låt vara en kvadratisk matris och vara olika egenvärden för matrisen . Det sägs att det är en Weir-form (eller en Weir-matris) om den har följande form: $W$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k))$ $W$ $W$ $W$

W={\begin{bmatrix}W_{1}&&&\\&W_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&W_{k}\\\end{bmatrix)),

var är den elementära Weir-formen med egenvärde , där . $W_i$ $\lambda _{i}$ $i=1,\ldots ,k$

Ansökningar av Weyr-formuläret

Några anmärkningsvärda tillämpningar av Weir-formuläret [4] är:

Weir-formen kan användas för att förenkla beviset för Gerstenhabers teorem, som säger att subalgebra som genereras av två pendlingsmatriser har dimension som mest . $n\ gånger n$ $n$
En uppsättning ändliga matriser sägs vara ungefär gemensamt diagonaliserbara om de kan störas till gemensamt diagonaliserbara matriser. Weirs form används för att bevisa den ungefärliga gemensamma diagonaliseringen av olika klasser av matriser. Egenskapen approximativ leddiagonaliserbarhet används i studiet av fylogenetiska invarianter inom bioinformatik .
Weirs form kan användas för att förenkla bevis på irreducerbarheten av en viss serie av alla möjliga k -tuplar från pendlingsmatriser.

Anteckningar

↑ Modern terminologi etablerades 1999 efter publiceringen av: Shapiro, H. The Weyr characteristic (engelska) // The American Mathematical Monthly : journal. - 1999. - Vol. 106 . - P. 919-929 .
↑ Edward Weyr. Répartition des matrices en espèces et formation de toutes les espèces (franska) // Comptes Rendus, Paris: tidskrift. - 1985. - Vol. 100 . - P. 966-969 .
↑ Edward Weyr. Zur Theorie der bilinearen Formen (neopr.) // Monatsh. Matematik. fysik. - 1980. - T. 1 . - S. 163-236 .
↑ 1 2 3 Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Avancerade ämnen i linjär algebra : Att väva matrisproblem genom Weyr-formuläret . — Oxford University Press , 2011.
↑ Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Avancerade ämnen i linjär algebra : Att väva matrisproblem genom Weyr-formuläret . - Oxford University Press , 2011. - P. 44 , 81-82.