Stack av tegelstenar problem

Tegelstaplingsproblemet , även känt som blockstaplingsproblemet , Det lutande tornet i Lire , bokstaplingsproblemet etc. är ett statiskt problem som består i att stapla rektangulära block i ett torn som sticker ut åt sidan så långt som möjligt.

Formulering

Problemet är formulerat så här:

Lägg identiska solida rektangulära parallellepipeder ovanpå varandra , montera ett stabilt torn på kanten av bordet så att utsprånget över kanten blir maximalt. $N$

Historik

Tegelstapelproblemet har en lång historia inom både mekanik och matematik. I sina artiklar tillhandahåller Mike Paterson och hans medförfattare [1] en lång lista med referenser till detta problem, som nämns i verken om mekanik som går tillbaka till mitten av artonhundratalet .

Beslut

Med endast ett block per nivå

Idealiskt, med endast ett perfekt rektangulärt block på varje nivå, är överhänget lika med blockets bredd [2] . Denna summa är halva delsumman av övertonsserien . Eftersom övertonsserien divergerar tenderar det maximala överhänget till oändlighet som , d.v.s. du kan uppnå vilket godtyckligt stort överhäng med ett tillräckligt antal block. I varje särskilt fall är det maximala överhänget ungefär lika med, dvs. är proportionell mot den naturliga logaritmen för antalet block. $\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i))$ $N$ ${\frac {1}{2}}\ln N$

N	Maximalt överhäng
N	fraktion		decimalnotation _	relativ storlek
ett	ett	/2	0,5	0,5
2	3	/fyra	0,75	0,75
3	elva	/12	~0,91667	0,91667
fyra	25	/24	~1,04167	1,04167
5	137	/120	~1,14167	1,14167
6	49	/40	1,225	1,225
7	363	/280	~1,29643	1,29643
åtta	761	/560	~1,35893	1,35893
9	7 129	/5 040	~1,41448	1,41448
tio	7 381	/5 040	~1,46448	1,46448

N	Maximalt överhäng
N	fraktion		decimalnotation _	relativ storlek
elva	83 711	/55 440	~1,50994	1,50994
12	86 021	/55 440	~1,55161	1,55161
13	1 145 993	/720 720	~1,59007	1,59007
fjorton	1 171 733	/720 720	~1,62578	1,62578
femton	1 195 757	/720 720	~1,65911	1,65911
16	2436559	/1 441 440	~1,69036	1,69036
17	42 142 223	/24 504 480	~1,71978	1,71978
arton	14 274 301	/8 168 160	~1,74755	1,74755
19	275 295 799	/155 195 040	~1,77387	1,77387
tjugo	55 835 135	/31 039 008	~1,79887	1,79887

N	Maximalt överhäng
N	fraktion		decimalnotation _	relativ storlek
21	18 858 053	/10 346 336	~1,82268	1,82268
22	19 093 197	/10 346 336	~1,84541	1,84541
23	444 316 699	/237 965 728	~1,86715	1,86715
24	1 347 822 955	/713 897 184	~1,88798	1,88798
25	34 052 522 467	/17 847 429 600	~1,90798	1,90798
26	34 395 742 267	/17 847 429 600	~1,92721	1,92721
27	312 536 252 003	/160 626 866 400	~1,94573	1,94573
28	315 404 588 903	/160 626 866 400	~1,96359	1,96359
29	9 227 046 511 387	/4 658 179 125 600	~1,98083	1,98083
trettio	9 304 682 830 147	/4 658 179 125 600	~1,99749	1,99749

Med flera block på valfri nivå

Ytterligare block på nivån kan användas som motvikt och ger fler överhäng än alternativet med ett block på nivån. Även för tre block kan stapling av två balanserade block ovanpå ett annat block ge ett överhäng av ett block, medan det i ett enkelt idealfall inte finns mer . 2007 visade Mike Paterson et al [1] att det maximala överhänget som kan uppnås med flera block i en nivå är asymptotiskt lika med , dvs. proportionell mot kubroten av antalet block, i motsats till det enkla fallet där överhäng är proportionell mot logaritmen för antalet blockblock. ${\frac {11}{12}}$ $c{\sqrt[{3}]{N))$

Se även

Worms of Paterson

Anteckningar

↑ 12 Paterson et al, 2009 .
↑ Här — blocknummer; numrering utförs, med början från toppen. $i$

Länkar

Weisstein , Eric W. Book Stacking Problem på Wolfram MathWorld .
Att bygga en oändlig bro . PBS Infinite Series (4 maj 2017). Hämtad: 3 september 2018. (obestämd)
Mike Paterson, Yuval Peres, Mikkel Thorup, Peter Winkler och Uri Zwick. Maximalt överhäng // American Mathematical Monthly. - 2009. - Vol. 116.—S. 763–787.