Invariant derivata med avseende på tid

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Den invarianta tidsderivatan är tidsderivatan av en tröghetsram . I själva tröghetsramen är den invarianta tidsderivatan helt enkelt den vanliga tidsderivatan: . I ett icke-tröghetssystem består den invarianta tidsderivatan av summan av den vanliga tidsderivatan och ytterligare termer relaterade till hastigheten hos det icke-tröghetssystemet i förhållande till tröghetssystemet. Hastighetsfältet kan vara inhomogent och i allmänhet beroende av tid . Så, till exempel, i ett icke-tröghetssystem associerat med ett ojämnt roterande hjul , är hastighetsfältet olikformigt i rum och tid. Eftersom hastighetsfältet är den relativa rörelsehastigheten för koordinatsystem, som inte är materiella föremål, kan denna hastighet överstiga ljusets hastighet i storlek och till och med vara oändlig. I det här fallet finns det naturligtvis ingen motsägelse med den speciella relativitetsteorin (SRT). Till exempel överstiger hastighetsfältet för ett icke-tröghetssystem associerat med ett roterande hjul ljusets hastighet på ett tillräckligt stort avstånd från rotationscentrum och tenderar till oändlighet med ytterligare avstånd från centrum. ${\frac {\partial }{\partial t))$ ${\frac {\partial }{\partial t))$ $V^i$ $V^{i}(x)$ $V^{i}(x,t)$ $V^{i}(x,t)$

Vi betecknar med koordinaterna i tröghetsramen och med koordinaterna i den icke-tröghetsramen. Då är rörelsehastigheten för det icke-tröghetssystemet i förhållande till det tröga systemet ${\bar {x}}$ $x({\bar {x)),t)$

$V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x)),t)}{\partial t))$

Den invarianta tidsderivatan av en skalär i en icke-tröghetsram är: $F(x,t)$

$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x^{i))}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{ \partial x^{i}}}$ .

Den invarianta tidsderivatan av tensorer har ytterligare termer associerade med omvandlingen av deras komponenter när de flyttas från ett koordinatsystem till ett annat . Så, till exempel, för vektorer och kovektorer har vi: ${\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)$

$A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Följaktligen,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{ \partial x^{j))}-A^{j}{\frac {\partial V^{i)){\partial x^{j))))$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x ^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}$ .

De invarianta tidsderivatorna för högre rankade tensorer beräknas på liknande sätt.

En viktig egenskap hos den invarianta tidsderivatan är att alla derivator med avseende på rymdkoordinater på höger sida av ovanstående uttryck kan ersättas av kovarianta derivator som överensstämmer med rymdmåttet , dvs. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i))))$ ${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j))$

$D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j} ^{i}$ ,

${\displaystyle D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j))$ ,

här tar villkoren med Christoffel-kopplingar ut varandra.

De "tillägg" som betraktas ovan till de vanliga tidsderivatorna är Lie-variationer (eller, med andra ord, Lie-derivator ) av tensorfält längs ett vektorfält , som studerades av den framstående norske matematikern Sophus Lie (1842-1899). $V^i$

De välkända centrifugal- och Coriolisaccelerationerna som uppträder i ett roterande icke-tröghetssystem är ytterligare termer i den invarianta tidsderivatan av hastighetsvektorn för en rörlig materialpunkt.

Litteratur

D. E. Burlankov, Dynamics of space. Monografi 2005 179 s.