Schwartz invariant

Schwartz-invarianten , Schwartz- derivatan eller Schwartzian (ibland används beteckningen ) av en analytisk funktion är en differentialoperator av formen $(Sf)(z)$ $\{f,\;z\}$ $F Z)$

(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f' '(z)}{f'(z)}}\höger)^{2}.

Egenskaper

Schwartz-invarianten för en linjär-fraktionell funktion är lika med noll. Detta lätt verifierade faktum är av stor grundläggande betydelse. Faktum är att om andraderivatan bestämmer närhetsmåttet för en differentierbar funktion till en linjär, så utför Schwartz-invarianten samma roll för en linjär-fraktionell funktion.
Om är en analytisk funktion, och är en linjär-fraktionell mappning, då kommer relationen att hålla , det vill säga den linjär-fraktionella mappningen ändrar inte Schwartz-invarianten. Å andra sidan beräknas Schwartz-derivatan f o g med formeln, $f$ $g$ $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

Alltså uttrycket[ klara upp ]

{\displaystyle (S(f))(z)\ dz^{\otimes 2))

invariant under linjär-fraktionella transformationer.

Mer allmänt, för godtyckliga, tillräckligt många gånger differentierbara funktioner f och g

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

Vi introducerar en funktion av två komplexa variabler

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw))\right)

. Tänk på uttrycket

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w))={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \över (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}}

. Schwartz-derivatet uttrycks med formeln

(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.

Schwartz-derivatan har en enkel formel för att permutera f och z

(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)

. Uttrycket har följande betydelse: vi betraktar det som en koordinat, men som en funktion. Sedan beräknar vi Schwarzian . Vi antar att därför, genom inversfunktionssatsen, verkligen är en lokal koordinat, a (med denna observation bevisas den sista egenskapen genom direkt beräkning).

(Sz)(f)

f

z(f)

z(f)

f'\neq 0

f

z'(f)=1/f'(z)

Ekvationen för Schwartz-invarianten

Betrakta en vanlig differentialekvation i analytiska funktioner av formen . Sedan dess två linjärt oberoende lösningar och tillfredsställa relationen . ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$ $f_1$ $f_{2}$ $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$