Hammersteins integralekvation

Hammersteins integralekvation är en olinjär integralekvation av formen: . Här är de kända funktionerna och är den önskade funktionen. [ett] $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)\Psi (s,\phi (s))ds+f(t)$ $K(t,s),\Psi (s,z),t(t)$ $\phi (t)$

Lösning existenssats

Hammersteins ekvation har minst en lösning om följande villkor är uppfyllda [2] : $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$

för en linjär integralekvation med en kärna är Fredholms satser giltiga och den itererade kärnan är kontinuerlig; $K(t, s)$ $K_{2}(t,s)$
kärnan är symmetrisk, det vill säga ; $K(t, s)$ $K(t,s)=K(s,t)$
kärnan är positiv definitivt, det vill säga alla dess karakteristiska tal är positiva; $K(t, s)$
funktion uppfyller villkoret , där $K(t, s)$ ${\displaystyle \mid K(t,s)\mid \leqslant C_{1}\mid z\mid +C_{2))$

${\displaystyle C_{1},C_{2))$ - positiva konstanter, - det minsta karakteristiska talet för kärnan ; $C_{1}<\lambda _{1}$ $\lambda _{1}$ $K(t, s)$

Lösningens unika teorem

Hammersteins ekvation har som mest en lösning om, för någon fast , funktionen är en icke-minskande funktion [2] . $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ $s\in\left[a,b\right]$ $F(s,z)$ $z$

Hammerstein-ekvationen har som mest en lösning om funktionen uppfyller Lipschitz-villkoret enhetligt , där [2] $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ $F(s,z)$ $\mid F(s,z_{2})-F(s,z_{1})\mid <\alpha \mid z_{2}-z_{1}\mid$ ${\displaystyle 0<\alpha <\lambda _{1))$

Anteckningar

↑ Krasnov, 1975 , sid. 263.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , sid. 270.

Litteratur

Krasnov M. L. Integralekvationer. — M .: Nauka, 1975. — 304 sid.