Whittaker-Shannon interpolationsformel
Whittaker-Shannon-interpolationsformeln används för att rekonstruera en kontinuerlig signal med ett begränsat spektrum från en sekvens av sampel med lika mellanrum.
Interpolationsformeln, som den brukar kallas, går tillbaka till Émile Borels arbete , daterat 1898, och Edmund Whittakers arbete , daterat 1915. Interpolationsformeln citerades från arbetet av Edmund Whittakers son, John McNaten Whittaker, daterat 1935, i form av Nyquist-Shannons samplingssats 1949, författaren till ledaren var Claude Shannon , innan Shannon formulerades denna sats av Kotelnikov . Interpolationsformeln brukar också kallas Shannons interpolationsformel , eller Whittakers interpolationsformel .
Samplingssatsen säger att, under vissa begränsande förhållanden , kan en funktion rekonstrueras från dess diskretisering, enligt Whittaker-Shannon-interpolationsformeln :
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ höger),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
där är samplingsperioden, är samplingsfrekvensen, är den normaliserade sinc-funktionen .
Gränsvillkor
Det finns två randvillkor som funktionen måste uppfylla för att interpolationsformeln ska hålla:
- bör begränsas. Fouriertransformen för en funktion måste ha följande egenskap: for , där .
- Samplingsfrekvensen måste vara minst mer än två gånger frekvensområdet, eller motsvarande:
var är provtagningsperioden.
Interpolationsformeln återskapar den ursprungliga signalen endast när dessa två villkor är uppfyllda. Annars finns det en överlagring av högfrekventa komponenter på lågfrekventa sådana - aliasing .
Interpolation som en summa av faltningar
Interpolationsformeln som härleds i Kotelnikovs teorem indikerar att den också kan uttryckas som en faltning av Dirac-"kammen" med sinc-funktionen :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac {t}{T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
Detta motsvarar Diracs "kam"-filtrering med ett idealiskt lågpassfilter .
Konvergens
Interpolationsformeln konvergerar alltid, naturligtvis och lokalt enhetligt, under villkoret:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
Hölders ojämlikhet anses vara uppfylld om sekvensen tillhör något av - mellanslag , där , vilket är ekvivalent med villkoret:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Detta villkor är tillräckligt, men inte nödvändigt.
Slumpmässiga stationära processer
If är en oändlig sekvens av avläsningar av en diskret funktion i den breda bemärkelsen av en stationär process , och den är inte en medlem av något eller -utrymme, med sannolikhet 1; då summan av dessa avläsningar, upphöjd till potensen , tar inte det slutliga förväntade värdet. Även om interpolationsformeln konvergerar med sannolikheten 1. Konvergens kan enkelt visas genom att beräkna skillnaden under begränsade summeringsförhållanden, och visar att skillnaden kan göras godtyckligt liten genom att välja ett tillräckligt antal villkor. Om denna process inte är noll, måste par av villkor betraktas på ett sådant sätt att de visar att det förväntade värdet från de avgränsade uttrycken konvergerar till noll.
Eftersom den slumpmässiga processen inte har en Fouriertransform måste villkoret under vilket summan konvergerar till den ursprungliga funktionen också vara annorlunda. En oföränderlig slumpmässig process har en autokorrelationsfunktion och därmed en monokromatisk densitet, i enlighet med Wiener-Khinchin-satsen . Ett tillräckligt villkor för konvergens till en diskret funktion av denna process är att den spektrala tätheten är noll vid alla frekvenser större än eller lika med halva samplingen.