Newtons interpolationsformler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 september 2019; kontroller kräver 7 redigeringar .

Newtons interpolationsformler är beräkningsmatematiska formler som används för polynominterpolation .

Formler

Låt några parvis distinkta punkter ges , även kallade interpolationsnoder, och värdena för någon funktion vid dessa punkter är kända. ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n))$ $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots ,\,f(x_{n})$ $f$

Fallet med ojämna noder

Om alla avstånd mellan angränsande noder är olika, konstrueras Newtons polynom enligt formeln [1]

P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x -x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_ {0};\ldots ;x_{n}),

var är skillnaden i delad ordning . $f(x_{0};\ldots ;x_{n})$ $n$

Med hjälp av egenskaperna för den delade skillnaden kan det visas att polynomet ovan faktiskt löser interpolationsproblemet : [2]

Låta vara Lagrange -interpolationspolynomet för punkterna . Sedan . $L_{k}(x)$ ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{k))$ $L_{n}(x)=L_{0}(x)+(L_{1}(x)-L_{0}(x))+\ldots +(L_{n}(x)-L_ {n-1}(x))$

Tänk på : $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)$

$L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=\summa _{i=0}^{k}f(x_{i})*\prod _{j=0,j \neq i}^{k}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j))}}-\summa _{i=0}^{k-1} f(x_{i})*\prod _{j=0,j\neq i}^{k-1}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j })}}=$

$=\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots (x-x_{i-1} )*(x-x_{i+1})\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{i}-x_{0})*\ldots *(x_{i}-x_{ i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*\ldots *(x_{i}-x_{k-1})}}*({\frac {x-x_{k} }{x_{i}-x_{k}}}-1)+$

$+f(x_{k})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{k}-x_{0} )*\ldots *(x_{k}-x_{k-1})}}$ .

Å andra sidan är skillnaden mellan två Lagrange-interpolationspolynom ett polynom av grad , och dess rötter är kända - . $k-1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{k-1))$

Enligt Bezouts sats får vi: . $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=a*(x-x_{0})*...*(x-x_{k-1})$

Vi finner : låt $a$ ${\displaystyle x=x_{k))$

$a=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f(x_{i})}{(x_{i}-x_{0})*...*(x_{i) }-x_{i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*...*(x_{i}-x_{k})}}=f(x_{0};x_ {1};...;x_{k})$

Efter att ha ersatt resultatet med , får vi . $L_n(x)$ $P_n(x)$

Således visas det att Newtonpolynomet i fallet med noder med ojämnt avstånd sammanfaller med Lagrange-interpolationspolynomet och därför löser interpolationsproblemet.

Fallet med ekvidistanta noder

Om angränsande noder är på ett visst fast avstånd från varandra , det vill säga , så kan Newtons polynom byggas antingen från (i det här fallet talar de om "framåtinterpolation") eller från ("bakåtinterpolation"). $h$ $x_{i}=x_{0}+ih$ $i=0,\ldots ,n$ $x_{0}$ $x_{n}$

I det första fallet har formeln för Newtonpolynomet formen [3]

P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0} +\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

där och uttryck av formen är ändliga skillnader . $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$ $\Delta ^{k}y_{0}$

I det andra fallet har formeln formen [4]

P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{ n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

var . $q=(x-x_{n})/h$

För formeln $h=1$

P_{n}(x)=\summa _{{m=0}}^{{n}}C_{x}^{m}\summa _{{k=0}}^{m}(-1) ^{{mk}}\,C_{m}^{k}\,f(k)

var är binomialkoefficienterna generaliserade till domänen av reella tal . $C_{x}^{m}$

Resten

Newtonpolynomet är en av formerna av Lagrangepolynomet , så resten av dessa formler är desamma [5] . Men resten av Newtons formel kan skrivas i en annan form: $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$