Kopplingskoefficient för resonatorer

Kopplingskoefficient för resonatorer är en dimensionslös storhet som kännetecknar graden av interaktion mellan två resonatorer

Kopplingskoefficienter används i teorin om resonatorfilter . Filterresonatorer kan vara antingen elektromagnetiska eller akustiska. Tillsammans med resonansfrekvenser och externa kvalitetsfaktorer för resonatorerna är kopplingskoefficienterna generaliserade filterparametrar. För att implementera justeringen av filtrets amplitud-frekvenskarakteristik är det tillräckligt att begränsa oss till att optimera endast dessa generaliserade parametrar.

Utveckling av definitionen av termen

Denna term introducerades först i filterteorin av M. Dishal [1]. Till viss del är det analogt med kopplingskoefficienten för två induktanser eller kopplingskoefficienterna för två oscillerande kretsar . Innebörden av denna term har upprepade gånger förfinats med utvecklingen av teorin om kopplade resonatorer och filter. Nyare definitioner av koefficienten generaliserar eller förfinar tidigare definitioner.

Kopplingsfaktor, ses som en positiv konstant

Från de tidiga definitionerna av kopplingskoefficienten för resonatorer är definitionerna i monografin av G. Mattei et al [2] allmänt kända. Det bör omedelbart noteras att dessa definitioner är ungefärliga, eftersom de är formulerade under antagandet att kopplingen mellan resonatorerna är tillräckligt liten. I monografi [2] bestäms kopplingskoefficienten för fallet med två identiska resonatorer av formeln $k$

$k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},$ (ett)

var är frekvenserna för jämna och udda kopplade oscillationer för ett obelastat par resonatorer , och $f_{e},$ ${\displaystyle f_{o))$ $f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e))}.$ $f_{0}.$

I fallet när ett par kopplade resonatorer med samma resonansfrekvenser kan jämföras med motsvarande ekvivalenta krets med en resistans (konduktivitet) inverterare laddad på båda sidor av de resonanta tvåterminala nätverken , bestäms kopplingskoefficienten av formeln $k$

${\displaystyle k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2))))$ (2)

för serieresonatorer och formeln

${\displaystyle k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2))))$ (3)

för parallella resonatorer. Här är parametrarna för motståndsomriktaren och konduktivitetsomriktaren, är parametrarna för lutningen för reaktansen för den första och andra resonatorn av serietypen vid resonansfrekvensen , och är parametrarna för lutningen för den reaktiva konduktansen hos första och andra resonatorer av parallelltyp. $K_{12},$ $J_{{12}}$ $x_{1},$ $x_{2}$ $f_{0},$ $b_{1},$ $b_{2}$

När resonatorerna oscillerar LC-kretsar, tar kopplingskoefficienten, enligt formlerna (2) och (3), värdet

${\displaystyle k_{L}=L_{m}/{\sqrt {L_{1}L_{2))))$ (fyra)

för resonatorer med induktiv koppling och värdet

$k_{C}=C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m)))))$ (5)

för resonatorer med kapacitiv koppling. Här är induktansen och kapacitansen för den första kretsen, är induktansen och kapacitansen för den andra kretsen, och är interloop (ömsesidig) induktans och interloop-kapacitans. Formlerna (4) och (5) har länge varit kända inom teorin om elektriska kretsar. De uttrycker värdena för koefficienterna för induktiv och kapacitiv koppling av oscillerande kretsar. $L_{1},$ $C_{1}$ $L_{2},$ $C_{2}$ $L_{m},$ $Centimeter$

Kopplingskoefficient, ses som en konstant för tecken

Förfining av den ungefärliga formeln (1) gjordes i [3]. Den exakta formeln är

$k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2}).$ (6)

När detta uttryck härleddes användes formlerna (4) och (5). Formel (6) har blivit allmänt erkänd. I synnerhet ges den i den ofta citerade monografin av J-Sh. Hong [4]. Det kan ses att kopplingskoefficienten för resonatorerna har ett negativt värde if $k$ $f_{o}<f_{e}.$

Enligt definition (6) uttrycks den induktiva kopplingskoefficienten för oscillerande kretsar fortfarande med formel (4). Den har ett positivt värde för och ett negativt värde för $k_{L}$ $L_{m}>0$ $L_{m}<0.$

Koefficienten för kapacitiv koppling av oscillerande kretsar är alltid negativ. Enligt (6) antar formel (5) för den kapacitiva kopplingskoefficienten för oscillerande kretsar en annan form ${\displaystyle k_{C))$

$k_{C}=-C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})))$ (7)

Kommunikation mellan elektromagnetiska resonatorer kan utföras både med magnetiska och elektriska fält . Koppling i ett magnetfält kännetecknas av en induktiv kopplingskoefficient, och koppling i ett elektriskt fält kännetecknas av en kapacitiv kopplingskoefficient. Absoluta värden minskar vanligtvis monotont med ökande avstånd mellan resonatorerna. Minskningshastigheten för en av dem kan skilja sig från minskningshastigheten för den andra. Men det absoluta värdet av summan av koefficienterna och kan inte bara minska, utan också öka i ett visst område med ökande avstånd [5]. $k_{L},$ $k_{C}.$ $k_{L}$ ${\displaystyle k_{C))$ $k_{L}$ ${\displaystyle k_{C))$

Tillägget av koefficienterna för den induktiva och kapacitiva kopplingen av resonatorerna utförs enligt formeln [3]

$k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C}).$ (åtta)

Denna formel erhålls från definition (6) med hänsyn till formlerna (4) och (7).

Det bör noteras att tecknet på själva kopplingskoefficienten inte spelar någon roll. Egenskaperna för resonatorfiltret kommer inte att ändras om tecknen för alla kopplingskoefficienter i det samtidigt vänds om. Det är dock viktigt när man jämför två kopplingskoefficienter och i synnerhet när man adderar koefficienterna för induktiv och kapacitiv koppling. $k$

Kopplingskoefficienten, betraktad som en funktion av frekvensen av forcerade svängningar

Två kopplade resonatorer kan interagera inte bara vid resonansfrekvenser. Detta bekräftas av möjligheten att överföra energin från forcerade svängningar från en resonator till en annan. Därför är det mer korrekt att karakterisera växelverkan mellan resonatorer inte med en uppsättning konstanter som motsvarar ett diskret spektrum av resonansfrekvenser, utan med en kontinuerlig funktion av frekvensen av forcerade svängningar $k_{i},$ $f_{i},$ $k(f).$

Uppenbarligen måste denna funktion uppfylla villkoret

$k(f)|_{f=f_{i}}=k_{i}.$ (9)

Dessutom måste funktionen försvinna vid de frekvenser där det inte finns någon överföring av högfrekvent effekt från en resonator till en annan, det vill säga den måste också uppfylla det andra villkoret $k(f)$ $f_{z},$

$k(f)|_{f=f_{z}}=0.$ (tio)

Noll effektöverföring sker i synnerhet i oscillerande kretsar med kombinerad induktiv-kapacitiv koppling, när den ömsesidiga induktansen Dess frekvens uttrycks med formeln [6] $L_{m}>0.$ ${\displaystyle f_{z))$

$f_{z}={\sqrt {L_{m}/[(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}]}}/(2\pi ) .$ (elva)

Baserat på energiansatsen, i [6] formulerades definitionen av en funktion som generaliserar formel (6) och uppfyller villkor (9) och (10). Denna funktion enligt formeln (8) uttrycks genom de frekvensberoende koefficienterna för induktiv och kapacitiv koppling och bestäms av formlerna $k(f),$ $k_{L}(f)$ $k_{C}(f),$

$k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},$ (12)

$k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.$ (13)

Här betecknar energin hos det högfrekventa elektromagnetiska fältet som lagras av båda resonatorerna. Linjen ovan anger energins konstanta komponent, och punkten anger amplituden för energins oscillerande komponent. Indexet betecknar den magnetiska delen av energin, och indexet betecknar den elektriska delen av energin. Index 11, 12 och 22 betecknar de delar av den lagrade energin som är proportionella mot respektive där är den komplexa spänningsamplituden vid porten av den första resonatorn och är den komplexa spänningsamplituden vid porten av den andra resonatorn. $W$ $W$ $L$ $C$ $|U_{1}|^{2},$ $|U_{1}||U_{2}|$ $|U_{2}|^{2},$ $U_{1}$ $U_{2}$

Särskilt från definitionerna (12) och (13) erhålls formler för frekvensberoendet för koefficienterna för induktiv och kapacitiv koppling av godtyckliga oscillatoriska kretsar [6]

$k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{ 1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},$ (fjorton)

$k_{C}(f)={\frac {-C_{m)){\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m))))) {\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})))}.$ (femton)

var är resonansfrekvenserna för den första och andra kretsen, störda av bindningarna. Det kan ses att värdena för funktionerna och för sammanfaller med konstanterna och definieras av formlerna (4) och (5). Dessutom försvinner funktionen som beräknas med formlerna (8), (14) och (15) med den frekvens som uttrycks av formel (11). $f_{1},f_{2}$ $k_{L}(f)$ $k_{C}(f)$ ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2))$ $k_{L}$ $k_{C},$ $k(f),$ $f_{z},$

Kopplingskoefficienter i filterteori

Bandpassfilter med linjär kopplingstopologi

Teorin om smalbandiga mikrovågsbandpassfilter med ett Chebyshev-frekvenssvar beskrivs i monografin [2]. I sådana filter är resonansfrekvenserna för alla resonatorer avstämda till mittfrekvensen för en given bandbredd.Var och en av resonatorerna är ansluten till högst två intilliggande resonatorer. Var och en av de två yttre resonatorerna är anslutna till en intilliggande resonator och till en av de två filterportarna. En sådan topologi av anslutningar av resonatorer kallas linjär. Med en linjär länktopologi finns det bara en kanal för passage av mikrovågseffekt från ingångsporten till utgångsporten. $f_{0}.$

För filter med en linjär topologi av anslutningar ger monografin [2] en härledning av ungefärliga formler för värdena på kopplingskoefficienterna för angränsande resonatorer som motsvarar en given amplitud-frekvenskarakteristik för filtret, där och är ordningstalen av de kopplade resonatorerna. När formler härleddes användes lågpassprototypfilter, liksom formlerna (2) och (3). Amplitud-frekvensegenskaperna hos prototypfilter beskrivs av Chebyshev-polynom . Dessa formler publicerades först i [7]. Dom ser ut som $k_{i,i+1},$ $i$ $i+1$

$k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{2}f_{1}g_{i}g_{i+1}}} },$ (16)

var är de normaliserade parametrarna för prototypen av lågpassfiltret, är ordningen för Chebyshev-polynomet, lika med antalet resonatorer i filtret, är gränsfrekvenserna för passbandet. $g_i$ $(i=0,1,2...n+1)$ $n$ $f_{1},f_{2}$

Värdena för de normaliserade parametrarna för en given filterbandbredd beräknas med formlerna $g_i$

$g_{0}=1,$ $g_{1}=2a_{1}/\gamma ,$

$g_{k}={\frac {4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}}},$ $k=2,3\dots n,$ (17)

$g_{n+1}=1,$ om ens, $n$

$g_{n+1}=\mathrm {cth} \,^{2}(\beta /4),$ om udda. $n$

Här använder vi notationen

$\beta =2\mathrm {arth} \,{\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},$ $\gamma =\mathrm {sh} \,({\frac {\beta }{2n)))$ (arton)

$a_{k}=\mathrm {sin} \,{\frac {2(k-1)\pi }{2n)),$ $b_{k}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} \,^{2}(k\pi /n),$ $(k=1,2...n),$

var är den passbandsdämpningsrippel som krävs, uttryckt i decibel. $\Delta L$

Formlerna (16) är ungefärliga inte bara för att ungefärliga definitioner av koefficienter (2) och (3) användes i deras härledning. Exakta uttryck för kopplingskoefficienterna i prototypfiltret erhölls i [8]. Men även efter förfining förblir dessa formler ungefärliga när man designar riktiga filter. Deras noggrannhet beror på utformningen av filtret och utformningen av dess resonatorer. Den ökar när den relativa bandbredden minskar.

Det visades i [9] att orsaken till felet i formler (16) och deras förfinade version är relaterad till frekvensspridningen av kopplingskoefficienterna, som kan variera mycket för resonatorer och filter av olika utformningar. Med andra ord, de optimala värdena för kopplingskoefficienterna vid frekvensen beror inte bara på parametrarna för den erforderliga filterbandbredden, utan också på värdena för derivatorna. Detta betyder att de exakta värdena för koefficienterna att tillhandahålla den erforderliga filterbandbredden kan inte vara känd i förväg. De kan endast ställas in efter filteroptimering. Därför kan formler (16) endast användas som initiala värden för generaliserade filterparametrar innan deras optimering. $k_{i,i+1}$ $f_0$ $dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_{0)).$ $k_{i,i+1},$

Ungefärliga formler (16) gör det också möjligt att etablera ett antal allmänna mönster som är inneboende i alla filter med en linjär topologi av anslutningar. En ökning av strömbandbredden för ett filter kräver till exempel en approximativt proportionell ökning av alla kopplingskoefficienter Koefficienterna är symmetriska kring mittresonatorn eller mittparet av resonatorer, även i filter med ojämna överföringsledningsimpedanser vid ingångs- och utgångsportarna. Värdet på koefficienterna minskar monotont när de passerar från de yttre paren av resonatorer till det centrala paret. $k_{i,i+1}.$ $k_{i,i+1}$ $k_{i,i+1}$

Verkliga filterkonstruktioner med linjär kopplingstopologi kan, i motsats till deras prototypfilter, ha transmissionsnollor i stoppbanden [10]. Överföringsnollor förbättrar avsevärt de selektiva egenskaperna hos filter. En av anledningarna till uppkomsten av nollor är frekvensspridningen av kopplingskoefficienterna för ett eller flera par av filterresonatorer, vilket uttrycks i att de försvinner vid effektnollfrekvensen [11]. $k_{i,i+1}$

Korskopplade bandpassfilter

För att bilda transmissionsnollor i filters stoppband för att öka deras selektiva egenskaper, skapas, förutom de närmaste länkarna, ofta ytterligare länkar mellan resonatorerna, som kallas tvärlänkar, i filter. Sådana anslutningar leder till bildandet av flera kanaler för passage av en elektromagnetisk våg från filtrets ingångsport till utgångsporten. Amplituderne för de vågor som har passerat genom olika kanaler i filtret, när de summeras vid utgången, kan helt elimineras vid individuella frekvenser, vilket leder till bildandet av överföringsnull.

För att beskriva anslutningarna av resonatorer i sådana filter används en matris med dimensioner [12, 4]. Hon är symmetrisk. Dess varje off-diagonala element är kopplingskoefficienten för de i :e och j :e resonatorerna . Varje diagonalelement är reaktansen ( immittansen ) för den i :e resonatorn vid mittfrekvensen . I ett avstämt filter är alla element lika med noll, så reaktanserna vid resonansfrekvenser försvinner. $\mathbf {M}$ $n\ gånger n$ ${\displaystyle M_{ij))$ $k_{ij}.$ ${\displaystyle M_{ii))$ $f_0$ ${\displaystyle M_{ii))$

Fördelen med matriser är att de låter dig direkt beräkna frekvenssvaret för en ekvivalent filterkrets som innehåller induktivt kopplade oscillerande kretsar [12, 4]. Därför är de bekväma att använda vid design av korskopplade filter. I synnerhet används matriser ofta i filteroptimering som sin grova modell. Användningen av en grov modell gör det möjligt att påskynda filteroptimeringen många gånger på grund av det faktum att beräkningen av frekvenssvaret för en grov modell praktiskt taget inte kräver datortid jämfört med att beräkna svaret för ett riktigt filter. $\mathbf {M}$ $\mathbf {M}$

Anteckningar

Litteratur

Dishal. M. Design av dissipativa bandpassfilter som ger önskade exakta amplitud-frekvenskarakteristika // Proc. VREDE. — Sept. 1949. - Vol. 37. - Nr 9. - P. 1050-1069.
Mattei G. L., Young L., Jones E. M. T. Mikrovågsfilter, matchningskretsar och kommunikationskretsar. T. 1. - M .: Kommunikation, 1971. - 439 sid.
Tyurnev VV, Belyaev BA Interaktion mellan parallella mikrostripresonatorer // Elektronnaya Tekhnika. Ser. Mikrovågselektronik. - 1990. Nummer. 4(428). - S. 25-30.
hong js. Microstrip-filter för RF/mikrovågsapplikationer. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. - 635 sid.
Belyaev B. A., Titov M. M., Tyurnev V. V. Kopplingskoefficient för oregelbundna mikrostrip-resonatorer. Izvestiya vuzov. Radiofysik. - 2000. - T. 43. - Nr 8. - S. 722-727.
Tyurnev VV Kopplingskoefficient för ett asymmetriskt par mikrovågsresonatorer // Radioteknik och elektronik. - 2002. - T. 47. - Nr 1. - S. 5-13.
Cohn SB Direktkopplat resonatorfilter // Proc. VREDE. - 1957. - V. 45. - Nr 2. - P. 187-196.
Tyurnev VV Direkt härledning och förfining av de generaliserade Kohn-Mattei-formlerna för kopplingskoefficienterna för resonatorer i ett mikrovågsfilter Radiotekhnika i elektronika. - 2008. - T. 53. - Nr. 5. - S. 584-587.
Tyurnev VV Inverkan av frekvensspridning av kopplingskoefficienter för resonatorer på felet i formler för direkt syntes av mikrovågsfilter Radiotekhnika i elektronika. - 2009. - T. 54. - Nr 3. - S. 314-317.
Belyaev B. A., Leksikov A. A., Tyurnev V. V. Frekvensselektiva egenskaper hos flerlänksfilter baserade på vanliga mikrostripresonatorer // Radioteknik och elektronik. - 2004. - T. 49. - Nr 11. - S. 1315-1324.
Belyaev B. A., Tyurnev V. V. Frekvensberoende kopplingskoefficienter för mikrostripresonatorer // Elektronnaya Tekhnika. Ser. mikrovågsteknik. - 1992. - Utgåva. 4(448). - S. 23-27.
Cameron RJ, Kudsia CM, Mansour RR Mikrovågsfilter för kommunikationssystem: grunder, design och applikationer. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. - 771 sid.

Länkar

VV Tyurnev. Kopplingskoefficienter för resonatorer i mikrovågsfilterteori // Progress In Electromagnetics Research B, V. 21, P. 47-67, 2010.