Lemma av Besicovitch på beläggningar

Besicovitchs täckande lemma är ett klassiskt resultat av kombinatorisk geometri, viktigt i måttteorin och nära Vitalis lemma .

Bevisad av Besikovich 1945.

Formulering

För varje naturlig finns det en naturlig sådan att följande är sant. Låta vara en godtycklig uppsättning slutna kulor in med radier som högst 1. Då kan vi välja högst en räknebar uppsättning kulor , så att mitten av valfri kula från tillhör minst en kula från och dessutom kan familjen vara uppdelad i underfamiljer med parvis disjunkta kulor i varje. $n$ $M=M(n)$ ${\mathfrak B}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathfrak B}'\subset {\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}'$ $M$

Anteckningar

Det kan antas att . ${\displaystyle M(n)=5^{n))$
Den optimala konstanten är inte känd ens för ett plan; den nedre gränsen är 8 (följer av exemplet i figuren) och den övre gränsen är 19. [1] [2]

Applikationer

Tillämpningsområdet för Besikovich-lemmat ligger nära tillämpningsområdet för Vitali-lemmat . Men Besicovitchs lemma är tillämpligt för godtyckliga mått, men bara för enkla metriska utrymmen, inklusive euklidiskt utrymme, medan Vitalis Lemma är tillämpligt på godtyckliga metriska utrymmen för mått med dubbleringsegenskapen. Det sistnämnda betyder att vi för någon riktig konstant och en godtycklig boll har $\mu$ $C$ $B$

\mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)

Variationer och generaliseringar

En tillräcklig förutsättning för att Besicovitch-lemmat ska hålla i ett metriskt utrymme är den så kallade boundedness in directions . Den här egenskapen togs i beaktande av Herbert Federer . [3]

Anteckningar

↑ * A. Malnic och B. Mohar. Två resultat på en asocial familj av bollar // Proc. av de fjärde tjeckoslovakiska symposen. om kombinatorik, grafer och komplexitet (Prachatice, 1990). - S. 205-207 .
↑ * E. F. Reifenberg. Ett problem med cirklar // Math. Gaz.. - 1948. - T. 32 . - S. 290-292 .
↑ se 2.8.9 i Federer G. Geometrisk måttteori. - 1987. - 760 sid.

Litteratur

S. V. Ivanov , Introduktion till geometrisk måttteori föreläsning 2008.
Besicovitch, AS (1945), En allmän form av den täckande principen och relativa differentieringen av additiva funktioner, I , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol 41 (02): 103–110 , DOI 10.1017/S0305004100022453 .
- En allmän form av den täckande principen och relativa differentieringen av additiva funktioner, II, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol 42: 205–235, 1946 .
DiBenedetto, E (2002), Real analysis , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5 .