Vitalis Lemma på omslag

Vitalis täckande lemma är ett kombinatoriskt geometriskt resultat. Används i stor utsträckning inom måttteori .

Detta lemma används i beviset för Vitalis täckande teorem , men är också av intresse i sig. Uppkallad efter den italienske matematikern Giuseppe Vitali .

Formulering

Slutlig version

Låta vara en ändlig uppsättning av bollar som finns i ett d - dimensionellt euklidiskt utrymme R d (eller, mer allmänt, i ett godtyckligt metriskt utrymme ). Sedan finns det en delmängd av dessa bollar där bollarna är parvis osammanhängande, och ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n))$ $B_{j_{1)),B_{j_{2)),\dots ,B_{j_{m))$

B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_ {m}},

där betecknar en boll med samma centrum som y men med tre gånger radien. $3B_{j_{k))$ $B_{j_{k))$

Endless version

Låta vara en godtycklig (räknebar eller oräknelig) uppsättning bollar i R d (eller, mer allmänt, i ett metriskt utrymme) så att ${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J\))$

\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,

där anger kulans radie B j . Sedan för alla finns det en räknebar delmängd $\mathrm {rad} (B_{j})$ $k>3$

\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,

parvis osammanhängande bollar så att

\bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.

Anteckningar

I den oändliga versionen upphör lemma att vara sant om radierna inte är begränsade: detta gäller till exempel inte för en oändlig uppsättning koncentriska kulor med positiva heltalsradier.
I det mest allmänna fallet, för ett godtyckligt metriskt utrymme, kräver valet av en maximal osammanhängande undersamling av bollar någon form av Zorns lemma .

Konsekvenser

I vilken ändlig uppsättning bollar som helst i ett dimensionellt euklidiskt utrymme med unionsvolym kan man välja en delmängd av korsande bollar med en total volym på minst . $n$ $V$ ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$
- Koefficienten är inte optimal och det optimala värdet är inte känt. [ett] ${\displaystyle {\tfrac {1}{3^{n))))$

Variationer och generaliseringar

Istället för bollar kan man ta andra regioner med ganska svaga förutsättningar. [2]
Besikovichs lemma är en analog till Vitalis lemma. Det är tillämpligt för godtyckliga mått, men bara för enkla metriska utrymmen inklusive euklidiskt utrymme, medan Vitalis Lemma är tillämpligt på godtyckliga metriska utrymmen för mått med dubbleringsegenskapen. Det sistnämnda betyder att vi för någon riktig konstant och en godtycklig boll har $\mu$ $C$ $B$ $\mu (2B)\leq C\cdot \mu (B)$

Anteckningar

↑ Den optimala konstanten i Vitali som täcker lemma
↑ Federer G. Geometrisk måttteori. - 1987. - 760 sid.

Litteratur

Vitali, Giuseppe (1908), Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino T. 43: 75–92 , < http://www.archive.org/stream/attidellarealeac43real#page /228/mode/2up > .
I.P. Natanson . Teorin om funktioner för en reell variabel.