Permutationsmatris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 mars 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

En permutationsmatris (eller permutationsmatris ) är en kvadratisk binär matris , i varje rad och kolumn där det finns exakt ett identitetselement. Varje permutationsmatris av storlek är en matrisrepresentation av en permutation av elementen. $n\ gånger n$ $n$

Definition

Låt en permutation av element ges: $\sigma$ $n$

{\begin{pmatrix}1&&2&&\ldots &&n\\\sigma (1)&&\sigma (2)&&\ldots &&\sigma (n)\end{pmatrix))

Motsvarande permutationsmatris är en matris av formen: $n\ gånger n$

P_{\sigma }={\begin{pmatrix}{\mathbf {e}}_{{\sigma (1)}}\\{\mathbf {e}}_{{\sigma (2)))\\ \vdots \\{\mathbf {e}}_{{\sigma (n)}}\end{pmatrix}},

där är en vektor med dimension , vars element är lika med 1, och resten är lika med noll. ${\mathbf {e}}_{{i}}$ $n$ $i$

Exempel

Permutation:

\pi ={\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\\4&&2&&1&&3\end{pmatrix}}

Motsvarande matris:

P={\begin{pmatrix}0&&0&&0&&1\\0&&1&&0&0\\\1&&0&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\\end{pmatrix}}

Egenskaper

För två valfria permutationer har deras matriser egenskapen: $\sigma ,\pi$ $P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\sigma \circ \pi }.$
Permutationsmatriser är ortogonala , så för varje sådan matris finns det en invers: $P_{\sigma }^{-1}=P_{\sigma }^{T}.$
Att multiplicera en godtycklig matris med en permutationsmatris byter dess kolumner i enlighet med detta. $M$
Att multiplicera en permutationsmatris med en godtycklig ett byter rader i . $M$ $M$
Determinanten för en permutationsmatris är lika med permutationens paritet. Determinanten för en jämn permutation är 1, determinanten för en udda permutation är -1.