Minimalitet (dynamiska system)

I teorin om dynamiska system kallas ett dynamiskt system minimalt om det inte har några icke-triviala ( slutna ) delsystem.

Definitioner

Ett dynamiskt system kallas minimal om för något stängt $(X,T)$

A\subset X,\quad T(A)=A

är antingen tom eller matchar alla . $A$ $X$

Eftersom stängningen av en omloppsbana är en invariant uppsättning, kan definitionen omformuleras på samma sätt enligt följande: ett dynamiskt system är minimalt om någon av dess banor är tätt överallt .

En invariant delmängd av systemets fasutrymme kallas också en minimal uppsättning om systemets begränsning till den är minimal. $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ $(X,T)$ $(Y,T|_{Y})$

Egenskaper

Det minimala systemet består antingen av en enda bana eller har varken fasta punkter eller periodiska banor.
Den minimala diffeomorfismen i en cirkel är ergodisk (Katka-Ehrmans sats).

Exempel

Den irrationella vridningen är minimal.
En förskjutning med en konstant vektor på torus är minimal om och endast om koordinaterna för skiftvektorn och enheten är linjärt oberoende över . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $\mathbb {Q}$
En cirkeldiffeomorfism är minimal om och endast om den är konjugerad till en irrationell rotation.
Det finns en Lebesgue-måttbevarande diffeomorfism av den tvådimensionella torus som är minimal men inte ergodisk ( Fürstenbergs exempel ).

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. - M .: MTSNMO , 2005. - S. 42. - 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .