Nålproblem

Nålproblemet är att bestämma minimiarean för en figur på ett plan där ett enda segment, "nålen", kan roteras 180 grader och återföra den till sin ursprungliga position med en omvänd orientering. Detta kan göras i en cirkel med en radie på 1/2. Ett annat exempel - en figur avgränsad av en deltoid - visas på bilden, den har en mindre yta.

Det visar sig att det är möjligt att konstruera en figur med en godtyckligt liten yta.

Historik

Denna fråga övervägdes av Kakeya . Han bevisade att för konvexa områden nås minimiytan av en liksidig triangel med höjd 1. Dess yta är [1] .

Kanske antog Kakeya också att en figur som avgränsas av en deltoid , som i figuren, har den minsta arean. Detta påstående har motbevisats av Besikovich .

Besicovitch-uppsättningen

Besikovich konstruerade en kompakt uppsättning av nollmått som innehöll ett enhetssegment i valfri riktning.

Av detta följer lätt att nålen kan vikas ut i en figur av ett godtyckligt litet område. Det är faktiskt lätt att se att enhetscirkeln kan delas in i sektorer och placeras i en godtyckligt liten omgivning av mängden genom en parallell översättning .

Observera att enhetssegmentet kan flyttas till en parallell linje i en figur med godtyckligt liten yta. Därför, genom att vrida ett segment i en sektor, kan det dras till nästa och passera genom en uppsättning godtyckligt liten yta; genom att upprepa denna operation flera gånger får vi den önskade svängen.

Variationer och generaliseringar

• I Besikovichs konstruktion, eftersom arean av en figur tenderar till noll, tenderar dess diameter till oändlighet. 1941 visade H.J. Van Alphen [2] att en nål kan sättas ut i en figur med godtyckligt liten yta, som är inuti en cirkel med en radie på 2 + ε (för en godtycklig ε > 0).

• Det finns helt enkelt anslutna lämpliga (i vilka nålen kan vändas) uppsättningar med en yta som är mindre än den för figuren som avgränsas av deltoideus.
  • Sådana exempel hittades 1965. Melvin Bloom och I. Yu. Schoenberg visade att deras område kan göras godtyckligt nära .
  • 1971 visade Cunningham [3] att det för alla ε > 0 finns en lämplig enkelt sammankopplad figur med area mindre än , inrymd i en cirkel med radie 1.

• Vi definierar en Besicovitch-mängd i R n som en uppsättning av nollmått som innehåller ett enhetssegment i vilken riktning som helst (en sådan mängd kallas också en Kakeya-mängd eller en Kakeya-mängd). Den så kallade Kakeya -förmodan säger att Besicovitch-uppsättningar har dimension n (enligt Hausdorff och enligt Minkowski ), det vill säga lika med dimensionen av det omgivande rummet.
  • Kakeis gissning är sann i dimensionerna 1 och 2 [4] .
  • Wolff visade [5] att i ett n -dimensionellt utrymme måste dimensionen av Besicovitch-uppsättningen vara minst ( n + 2)/2.
  • År 2002 förbättrade Katz och Tao Wolffs uppskattning [6] genom att visa att dimensionen inte kan vara mindre än . Denna gräns är bättre för n > 4.

• Vi definierar en ( n , k )-Besicovitch-mängd som en kompakt mängd i Rn av måttet noll innehållande i varje k -dimensionell riktning en k -dimensionell enhetsskiva. Gissningar om ( n , k )-Besicovitch-mängder: ( n , k )-Besicovitch-mängder finns inte för k > 1.
  • 1979 bevisade Marstrand [7] att det inte finns någon (3, 2)-Besicovitch-uppsättning.
  • Ungefär samtidigt bevisade Faulkner [8] att det inte finns några ( n , k )-set för 2 k > n .
  • Den bästa skattningen hittills tillhör Bourgain, som bevisade [9] att mängder med 2 k -1 + k > n inte existerar.

• 1997 [10] och 1999 [11] bevisade Wolff att uppsättningar som innehåller en sfär med vilken radie som helst måste ha full dimension, det vill säga dimensionen av det omgivande utrymmet.

• Elias Stein bevisade [12] att varje uppsättning som innehåller en sfär runt varje punkt måste ha ett positivt mått för n ≥ 3, och Marstrand bevisade detsamma [13] för fallet n = 2.

• 1999 formulerade Wolff en analog till nålproblemet för finita fält . Låt F  vara ett ändligt fält. En mängd K ⊆ F n kallas en Besicovitch-mängd om det för varje vektor y ∈ F n finns x ∈ F n så att K innehåller alla vektorer av formen { x + ty  : t ∈ F }.

• Nålproblem i rymden över ett ändligt fält : Antalet element i K är åtminstone c n | F | n , där c n >0 är en konstant som endast beror på n .
• Dvir [14] [15] bevisade denna gissning för c n = 1/ n ! med hjälp av följande argument. Dvir noterade att alla polynom med n gradvariabler mindre än | F |, som är lika med noll på Besicovitch-setet, måste vara identiskt lika med noll. Å andra sidan, polynom med n gradvariabler mindre än | F | bilda ett vektorrum av dimension

Därför finns det minst ett icke-trivialt polynom med grad mindre än | F |, som är lika med noll på en godtycklig mängd med ett mindre antal punkter. Därför måste Besikovich-uppsättningen ha minst | F | n / n ! poäng. Dvir skrev en recensionsartikel om detta problem. [fjorton]

Applikationer

• 1971 använde Fefferman [16] konstruktionen av Besicovitch-uppsättningen för att visa att, i dimensioner större än 1, kanske trunkerade Fourier-integraler som tagits över kulor centrerade vid origo med radier som tenderar mot oändligheten inte kan konvergera i L p -normen vid p ≠ 2 (i motsats till det endimensionella fallet, där sådana trunkerade integraler konvergerar).

Se även

• Deltoid
• Lebesgue problem
• Gott om Nikodemus

Anteckningar

1. ↑ Pal, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. Kakeya-problemet för enkelt anslutna och för stjärnformade uppsättningar // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, nr. 2. - S. 114-129. - doi : 10.2307/2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Några kommentarer om Kakeya-problemet // Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1971. - T. 69, nr. 3. - S. 417-421. - doi : 10.1017/S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. En förbättrad gräns för maximala funktioner av Kakeya-typ // Rev. Matta. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. - doi : 10.4171/rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. Nya gränser för Kakeya-problem // J. Anal. Math.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. - doi : 10.1007/BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes in R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26, nummer. 2. - S. 180-183. - doi : 10.1112/S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ Kontinuitetsegenskaper för k-plansintegraler och Besicovitch-uppsättningar // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1980. - T. 87, nr. 2. - S. 221-226. - doi : 10.1017/S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgain, Jean . Besicovitch-typ maximala operatorer och tillämpningar för Fourier-analys // Geom. Funktion. Anal.. - 1997. - Vol 1, nummer. 2. - S. 147-187. - doi : 10.1007/BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. Ett Kakeya-problem för cirklar // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, nummer. 5. - S. 985-1026. - doi : 10.1353/ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Elias. Maximala funktioner: Sfäriska medel // PNAS. - 1976. - T. 73, nummer. 7. - S. 2174-2175. - doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Packa cirklar i planet // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. - doi : 10.1112/plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Dvirs bevis på det finita fältet Kakeya-förmodan Arkiverad 3 maj 2016 på Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. Multiplikatorproblemet för bollen // Annals of Mathematics. - 1971. - T. 94, nr. 2. - S. 330-336. - doi : 10.2307/1970864 .

Litteratur

• Yaglom IM , Boltyansky VG Konvexa figurer . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 sid. - (Den matematiska cirkelns bibliotek, nummer 4).

• Besicovitch, Abram (1963). "Kakeya-problemet". American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). "På storleken på Kakeya-uppsättningar i ändliga fält". Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). Geometrin av fraktaluppsättningar . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Några problem på max och minimum angående ovaler". Tohoku vetenskapsrapporter 6 : 71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). "En förbättrad gräns för Minkowski-dimensionen av Besicovitch sätter in " (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). "Senaste arbete i samband med Kakeya-problemet". I Rossi, Hugo. Prospects in Mathematics: Invited Talks an the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, red. Föreläsningar om harmonisk analys . Universitetets föreläsningsserie 29 . Med ett förord ​​av Charles Fefferman och förord ​​av Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• Kakeya-problemet och kopplingar till harmonisk analys vid University of British Columbia.
• Besicovitch vid UCLA
• Kakeya nålproblem på mathworld
• En introduktion till Besicovitch-Kakeya-uppsättningar