Inom finansiell matematik är Black-modellen (även känd som Black-76- modellen ) en variant av Black-Scholes alternativprissättningsmodell . Det har direkta tillämpningar i prissättningen av obligationsoptioner , "cap" och "floor"-avtal, swaptioner . Modellen presenterades först i en artikel av Fisher Black 1976.
Blacks modell kan generaliseras till en klass av modeller som kallas framåt lognormala modeller, även kända som LIBOR-marknadsmodeller .
Den svarta formeln liknar Black-Scholes formel för att värdera aktieoptioner , förutom spotpriset för den underliggande tillgången, som ersätts av diskonteringspriset på terminerna F.
Antag att det finns en konstant riskfri ränta r , och terminspriset F(t) för en viss underliggande tillgång har en log-normalfördelning med en volatilitetsparameter σ . Blacks formel sätter sedan priset på en europeisk köpoption med löptid T på ett terminskontrakt med lösenpris K och leveransdatum T' (där ):
Motsvarande säljpris för optionen är:
var
och N(.) är den kumulativa normalfördelningen .
Observera att T' inte förekommer i formeln, även om det är större än T. Detta är en konsekvens av att terminerna är marknadsberäknade och att utbetalningen därför sker när optionen utnyttjas. Om vi överväger en option på ett terminskontrakt som löper ut vid tidpunkten T' > T, kommer utbetalningen inte att ske förrän vid tidpunkten T'. Således ersätts diskonteringsfaktorn med , eftersom det är nödvändigt att ta hänsyn till pengars värde, med hänsyn till tidsfaktorn . Skillnaden i de två angivna fallen beror på härledningen av formeln nedan.
Svarts formel kan lätt härledas med hjälp av Magrabe-formeln , som i sin tur är en enkel men användbar tillämpning av Black-Scholes-formeln .
Utdelningen för en terminsköpoption är max (0, F(T) - K) . Vi kan överväga ett bytesalternativ (Magrabe-alternativet), som den första tillgången, men som den andra, den riskfria inlösen av $1-obligationen vid tidpunkten T . Sedan utnyttjas köpoptionen vid tidpunkten T då den första tillgången är mer värd än K riskfria obligationer. Med sådana tillgångar kommer antagandena i Magrabe-formeln att uppfyllas.
Det enda som återstår att kontrollera är att den första tillgången faktiskt är en tillgång. Detta kan ses om vi betraktar en portfölj bildad vid tidpunkten 0 av långt terminskontrakt med leveransdatum T och kort F(0) av riskfria obligationer. Observera att vid en given ränta är termins- och terminspriser lika, så det finns ingen tvetydighet. Sedan, när som helst t , kan du kvitta obligationen för terminskontraktet genom att shorta en annan termin med samma leveransdatum, få terminsprisskillnaden, men förhandla med samma värde på . Likvidation F(0) av riskfria obligationer, som var och en är dyrare, kommer att leda till en nettovinst .
Diskussion
Onlineverktyg