Svart modell

Inom finansiell matematik är Black-modellen (även känd som Black-76- modellen ) en variant av Black-Scholes alternativprissättningsmodell . Det har direkta tillämpningar i prissättningen av obligationsoptioner , "cap" och "floor"-avtal, swaptioner . Modellen presenterades först i en artikel av Fisher Black 1976.

Blacks modell kan generaliseras till en klass av modeller som kallas framåt lognormala modeller, även kända som LIBOR-marknadsmodeller .

Svarts formel

Den svarta formeln liknar Black-Scholes formel för att värdera aktieoptioner , förutom spotpriset för den underliggande tillgången, som ersätts av diskonteringspriset på terminerna F.

Antag att det finns en konstant riskfri ränta r ​​, och terminspriset F(t) för en viss underliggande tillgång har en log-normalfördelning med en volatilitetsparameter σ . Blacks formel sätter sedan priset på en europeisk köpoption med löptid T på ett terminskontrakt med lösenpris K och leveransdatum T' (där ):

Motsvarande säljpris för optionen är:

var

och N(.) är den kumulativa normalfördelningen .

Observera att T' inte förekommer i formeln, även om det är större än T. Detta är en konsekvens av att terminerna är marknadsberäknade och att utbetalningen därför sker när optionen utnyttjas. Om vi ​​överväger en option på ett terminskontrakt som löper ut vid tidpunkten T' > T, kommer utbetalningen inte att ske förrän vid tidpunkten T'. Således ersätts diskonteringsfaktorn med , eftersom det är nödvändigt att ta hänsyn till pengars värde, med hänsyn till tidsfaktorn . Skillnaden i de två angivna fallen beror på härledningen av formeln nedan.

Konsekvenser och antaganden

Svarts formel kan lätt härledas med hjälp av Magrabe-formeln , som i sin tur är en enkel men användbar tillämpning av Black-Scholes-formeln .

Utdelningen för en terminsköpoption är max (0, F(T) - K) . Vi kan överväga ett bytesalternativ (Magrabe-alternativet), som den första tillgången, men som den andra, den riskfria inlösen av $1-obligationen vid tidpunkten T . Sedan utnyttjas köpoptionen vid tidpunkten T då den första tillgången är mer värd än K riskfria obligationer. Med sådana tillgångar kommer antagandena i Magrabe-formeln att uppfyllas.

Det enda som återstår att kontrollera är att den första tillgången faktiskt är en tillgång. Detta kan ses om vi betraktar en portfölj bildad vid tidpunkten 0 av långt terminskontrakt med leveransdatum T och kort F(0) av riskfria obligationer. Observera att vid en given ränta är termins- och terminspriser lika, så det finns ingen tvetydighet. Sedan, när som helst t , kan du kvitta obligationen för terminskontraktet genom att shorta en annan termin med samma leveransdatum, få terminsprisskillnaden, men förhandla med samma värde på . Likvidation F(0) av riskfria obligationer, som var och en är dyrare, kommer att leda till en nettovinst .

Se även

Länkar

Diskussion

Onlineverktyg

Anteckningar