Icke degenererad halvledare

En icke-degenererad halvledare är en halvledare där Fermi-nivån är belägen i bandgapet på ett energiavstånd större än dess gränser ( är Boltzmann-konstanten, är den absoluta temperaturen), vilket leder till att laddningsbärarna i denna halvledare följa Maxwell-Boltzmanns statistik. Om Fermi-nivån ligger inom de tillåtna banden (inuti ledningsbandet i fallet med en n-typ halvledare eller valensbandet i fallet med en p-typ ), så kallas en sådan halvledare degenererad . $kT$ $k$ $T$

Fördelning av transportörer i zoner

Eftersom elektroner har ett halvt heltalsspinn, lyder de Fermi-Dirac-statistik

f(E)={\frac {1}{1+\exp {\frac {EF}{kT))))

$f(E)$ är sannolikheten att ett kvanttillstånd med energi är fyllt med en elektron; är den elektrokemiska potentialen, eller Fermi-nivån , som i allmänhet beror på temperaturen. Ferminivån kan också definieras som energin i ett kvanttillstånd, sannolikheten för fyllning som under givna förhållanden är lika med 1/2. $E$ $F$

För har formen av en diskontinuerlig funktion: $T=0\quad$ $f(E)$

för , vilket betyder att alla kvanttillstånd med sådana energier är fyllda med elektroner; $E<F\quad$ $f(E)=1$

för , så motsvarande kvanttillstånd är fria. $E>F\quad$ $f(E)=0$

Vid , visas Fermi-funktionen som en kontinuerlig kurva och i ett smalt energiområde av storleksordningen flera i närheten av punkten ändras den snabbt från 1 till 0. Utsmetningen av Fermi-funktionen är ju större ju högre temperatur. $T>0\quad$ $kT$ $E=F$

Beräkningen av statistiska storheter förenklas avsevärt om den ligger i energibandsgapet och avlägsnas från kanten av ledningsbandet med flera . Sedan kan det övervägas i Fermi-Dirac-fördelningen och det går in i Maxwell-Boltzmann-fördelningen av klassisk statistik . I detta fall är elektrongasen inte degenererad. $F$ $E_{c}$ $kT$ $\exp {\frac {EF}{kT}}\gg 1$ $f(E)=C\exp {\frac {EF}{kT))$

På liknande sätt, i en halvledare av p-typ, för frånvaro av hålgasdegeneration, är det nödvändigt att Fermi-nivån också ligger inuti bandgapet och är placerad över energin med flera . $F$ $E_{v}$ $kT$

Det motsatta fallet, när Fermi-nivån är belägen innanför ledningsbandet eller innanför valensbandet, är fallet med en degenererad elektron eller en hålgas. I detta fall är det nödvändigt att använda Fermi-Dirac-distributionen.

Bärarkoncentration i zonerna

Elektronkoncentrationen i ledningsbandet beskrivs av uttrycket

n=\int \limits _{E_{c}}^{\infty }f(E)\rho _{c}(E)dE=N_{c}\Phi _{1/2}(\ xi)

$\xi ={\frac {F-E_{c}}{kT}}$ är den kemiska potentialen för elektroner (mer exakt dess dimensionslösa värde),

$\rho _{c}(E)={\frac {1}{V}}{\frac {dN}{dE}}$ - tätheten av elektroniska tillstånd i ledningsbandet - antalet tillstånd per enhet energiintervall per volymenhet,

$N_{c}=2\left({\frac {m_{c}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ är den effektiva tätheten av tillstånd i ledningsbandet.

Värdet på integralen beror endast på den kemiska potentialen och temperaturen. Denna integral är känd som Fermi-Dirac-integralen med index 1/2: $\Phi _{1/2}(\xi )$

\Phi _{1/2}(\xi )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^ {1/2}}{1+\exp {(x-\xi )}}}

Beräkningen av koncentrationen av hål i valensbandet utförs på liknande sätt, den enda skillnaden från föregående fall är att tätheten av tillstånd i valensbandet används och inte antalet upptagna, utan antalet lediga tillstånd tas hänsyn till : $\rho _{v}(E)$ $f_{p}=(1-f)$

p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}f_{p}(E)\rho _{v}(E)dE=N_{v}\Phi _{1/ 2}(\eta )

$N_{v}=2\left({\frac {m_{v}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ är den effektiva tätheten av tillstånd i valensbandet,

$\eta ={\frac {E_{v}-F}{kT))$ är den kemiska potentialen för hål, en dimensionslös parameter som kännetecknar läget för Fermi-nivån i förhållande till kanten av valensbandet.

För icke-degenererade halvledare är endast svansen av Fermi-fördelningen signifikant, vilket kan approximeras av Maxwell-Boltzmann-fördelningen. I det här fallet tar Fermi-Dirac-integralen formen , och bärarkoncentrationerna i banden bestäms av uttrycken: $\Phi _{1/2}(\xi )=\exp {\xi }$

n=N_{c}\exp {\frac {-(E_{c}-F)}{kT))

p=N_{v}\exp {\frac {E_{v}-F}{kT))

Faktorn framför exponenten ger sannolikheten att fylla ett kvanttillstånd med energi (eller med energi i fallet med hål ) med elektroner. Följaktligen, för en icke-degenererad halvledare, visar sig koncentrationen av mobila elektroner vara densamma som om det, istället för en kontinuerlig fördelning av tillstånd i bandet, fanns tillstånd med samma energi i varje volymenhet . $E_{c}$ $E_{v}$ $N_{c}$ $E_{c}$

På liknande sätt argumenterar, när man beräknar koncentrationen av hål, kan valensbandet ersättas av en uppsättning tillstånd med samma energi , vars antal i varje volymenhet är . $E_{v}$ $N_v$

I icke-degenererade halvledare är koncentrationen av majoritetsbärare liten jämfört med de effektiva densiteterna av tillstånd . Motsatsen sker i degenererade halvledare. Därför, genom att jämföra de uppmätta värdena för elektron- och hålkoncentrationerna med värdena för , kan man omedelbart fastställa om en given halvledare är degenererad eller inte. $N_{v},N_{c}$ $N_{v},N_{c}$

Förhållandet beror huvudsakligen på läget för Fermi-nivån i förhållande till bandkanterna. Av uttrycken för koncentrationerna framgår att koncentrationen av mobila laddningsbärare blir högre i det band som Fermi-nivån ligger närmare. Därför är Fermi-nivån i halvledare av n-typ placerad i den övre halvan av bandgapet och i halvledare av p-typ i den nedre halvan. Produkten av elektron- och håldensiteterna för en icke degenererad halvledare beror dock inte på läget för Fermi-nivån och är lika med . ${\frac {n}{p))$ $n, sid$ $np=N_{c}N_{v}\exp {\frac {-E_{g}}{kT}}$

Litteratur

Bonch-Bruevich V. L. , Kalashnikov S. G. Halvledares fysik. — Moskva: Nauka, 1977.
Lebedev AI Fysik för halvledarenheter . - Fizmatlit Moskva, 2008. - 488 s. - ISBN 978-5-9221-0995-6.