Cauchy-Bunyakovsky ojämlikhet

Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten kopplar ihop normen och den skalära produkten av vektorer i det euklidiska eller hilbertska rummet . Denna ojämlikhet är ekvivalent med triangelolikheten för normen. Ett specialfall av Hölders ojämlikhet och Jensens ojämlikhet [1] .

Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten kallas ibland, särskilt i utländsk litteratur, för Schwartz -ojämlikheten och Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz-ojämlikheten , även om Schwartz verk om detta ämne dök upp endast 25 år efter Bunyakovskys verk [2] . Det finita dimensionella fallet av denna ojämlikhet kallas Cauchy-ojämlikheten och bevisades av Cauchy 1821 .

Formulering

Låt ett linjärt mellanrum med skalär produkt ges . Låt vara normen som genereras av den skalära produkten, dvs. Sedan för alla vi har: $L$ $\langle x,\;y\rangle$ $\|x\|$ $\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$ $x,\;y\i L$

|\langle x,\;y\rangle| \leqslant\|x\|\cdot\|y\|,

dessutom uppnås likhet om och endast om vektorerna och är linjärt beroende ( collinear , eller det finns noll bland dem). $x$ $y$

Exempel

Ett viktigt specialfall, som ofta används i talteorin, är fallet när en av vektorerna helt består av ettor:

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1 }^{n}{1}}\right)\summa \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\summa \limits _{i=1} ^{n}{{x_{i}}^{2}}

I utrymmet av komplexa värderade kvadrat-summbara sekvenser har Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten formen: $l^2$

\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right) \cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),

där betecknar komplex konjugation . $\bar{y}_k$ $y_{k}$

I utrymmet av komplexa kvadratintegrerbara funktioner har Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten formen: $L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$

\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right| ^2\,\mu(dx)\höger)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\höger|^2\,\mu(dx)\höger).

I utrymmet för slumpvariabler med ett ändligt andra moment har Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten formen: $L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ $\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

var är kovariansen och är variansen .

\mathrm{cov}

\mathrm{D}

För två oberoende slumpvariabler och Cauchy - Bunyakovsky har olikheten formen: $\xi$ $\eta$ $\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2} \right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Bevismetoder

Det finns bara ett fåtal väsentligt olika tillvägagångssätt för att bevisa ojämlikheten. Men på grund av dess universalitet kan samma formella operationer som leder till det beskrivas i olika termer. På grund av detta framställer vissa författare att ojämlikheten har en extremt hög mängd bevis. [3]

För att underlätta presentationen, i detta avsnitt, om inte annat anges, beskrivs bevisen endast för ett utrymme med ändlig dimension över , det vill säga för ändliga sekvenser , . $\mathbb {R}$ $(x_{1},\dots,x_{n})$ $(y_{1},\dots ,y_{n})$

Kombinatoriskt (via permutationsojämlikhet )

Envektorfallet

Låt . Om du expanderar kvadraten och gör substitutionen kan kvadraten på summan delas in i block enligt följande: $y_{1}=\dots =y_{n}=1$ $t=ij$

{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i))}\right)}^{2}=\summa \limits _{i=1}^{ n}\summa \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\summa \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\summa \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,

där beteckningarna motsvarar . Från permutationsolikheten för två kopior av en sekvens och permutationer $x_{n+1},x_{n+2},\dots$ $x_{1},x_{2},\dots$ $(x_{1},\dots,x_{n})$

\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots ,n-1

Härav följer att var och en av de interna beloppen inte överstiger . $\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2))$

Allmänt fall

Om alla är heltal, då vi utökar produkterna och tillämpar det redan bevisade specialfallet för de resulterande termerna, $y_{i}$ $x_{i}y_{i}=\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}$ $\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i))$

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1 }^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i =1}^{n}{y_{i))}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right )\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,

Genom att dividera båda delarna med heltal kan man få samma olikhet för rationella , och generaliseringen för godtyckliga reella följer av kontinuiteten i addition och multiplikation . Detta uttalande motsvarar exakt Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten för sekvenserna $y_{i}$ $y_{i}$

{\displaystyle {x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i))))

{\displaystyle {y'}_{i}:={\sqrt {y_{i))))

Därför följer ojämlikheten för godtycklig , av möjligheten till omvänd substitution ${\displaystyle ({x'}_{i})_{i=1}^{n))$ ${\displaystyle ({y'}_{i})_{i=1}^{n))$

x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}

{\displaystyle y_{i}:={y'}_{i}^{2))

Probabilistisk (via kvadratsumman)

Idé (om exemplet med varians)

Den mest kända implementeringen av denna metod är övervägandet av variansen för en slumpvariabel . Uppenbarligen, om värdet tar icke-negativa värden, kommer dess matematiska förväntan också att vara icke-negativ, därför

\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0

för någon slumpmässig variabel . På grund av den matematiska förväntans linjäritet följer det att $X$

0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2} -2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X] \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}

Låt allt och . För en slumpvariabel som antar ett värde med sannolikhet betyder denna olikhet det $y_{i}>0$ $B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ $X$ $x_{i}$ ${\frac {y_{i}}{B}}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\ mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\summa \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{ \frac {y_{i}}{B}}}\ ,

det är

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{ n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\summa \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\ summa \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .

Därför kan Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten erhållas genom samma förändring av variabler som när man använder permutationsolikheten.

Tolkning och alternativa former

Efter förändringen av variabler kommer den matematiska förväntan av den ovan beskrivna kvantiteten att ha formen

\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}({\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_ {i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Därför betraktar sannolikhetsbevis i huvudsak summan

\sum \limits _{i=1}^{n}{\left(({\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^ {n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1} ^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j =1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Från den uppenbara (på grund av att kvadrera parentesen) icke-negativiteten hos denna summa härleds relationen mellan termerna som erhålls genom att öppna parentesen - två av de tre sådana termerna reduceras till en (de skiljer sig endast med en konstant) p.g.a. formelns struktur. Genom att ändra normaliseringen (dividera med summor) genom att införa faktorer inom parentes och multiplicera en konstant, är det lätt att se att detta tillvägagångssätt liknar att använda en mer visuell summa

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{ j}y_{j))))-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right) }^{2}}\ .

Ojämlikheter med sådana summor, skrivna utan hänvisning till probabilistiska definitioner, förblir korrekta utan villkoret från föregående avsnitt. I synnerhet för ett godtyckligt Hilbert utrymme som vi kan överväga ojämlikheten $y_{i}>0$ $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$

0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2))}x}\right\vert \ höger\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac { \langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y }\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x, x}\rangle ^{2))}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2)){\ langle {x,x}\rangle }}\ ,

och när det räcker att multiplicera med ett komplext tal av formen för att reducera allt till det första fallet. $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ $x$ $e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$

På ett liknande sätt kan du använda en annan, symmetrisk summa, där de två extrema termerna (erhållna genom kvadrering) avbryts efter att ha öppnat parenteserna, och inte den extrema med den centrala:

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n} {x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2} }}}}}}\right)}^{2}}\ .

eller, vilket är detsamma,

\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .

Förutom probabilistisk tolkning kan användningen av sådana summor beskrivas genom en uppskattning av diskriminanten för en andragradsekvation eller en olikhet mellan det geometriska medelvärdet och det aritmetiska medelvärdet . [fyra]

Direkt (via grupperingsfaktorer)

En annan idé (som kräver verktygen från de två föregående) är att representera ojämlikheten i formen

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^ {n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\summa \limits _{i=1}^{n}\summa \limits _{j=1}^{n}{(x_{ i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\summa \limits _{j=1}^{n}{( x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left( {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2))}\right)\ .

Denna form kan bevisas på två sätt:

jämföra alla termer i ett steg, tillämpa permutationsolikheten för två kopior av uppsättningen och permutation [5] ; $(x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2))$ $\sigma (i,j):=(j,i)$

jämföra varje term separat, tillämpa olikheten mellan det geometriska medelvärdet och det aritmetiska medelvärdet för två variabler , vilket i huvudsak motsvarar att överväga summan av kvadraterna av formen eller normen för motsvarande vektor i tensorprodukten av godtyckliga Hilbertrum. [6] ${\displaystyle a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i))$ $\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i} )^{2}}$

Tillämpning av fallet n=2 på summor

Ojämlikheten kan erhållas genom induktion, vars steg att gå från till den -e termen är att tillämpa samma olikhet för två termer. Det induktiva antagandet för sekvenser ger olikheten $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n))$ $(y_{i})_{i=1}^{n}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {röd}{x_{i}}\color {blå}{y_{i}}}}\right)+ x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {röd}{x_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {blå}{y_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}

Och från fallet för sekvenser är det lätt att se det $n=2$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},x_{n+1}}\höger)$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},y_{n+1}}\right)$

{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1 }{2)))){\color {blå}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{ \frac {1}{2))))+{\color {röd}{x_{n+1}}\color {blå}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color { red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\höger)^{{\frac {1}{2}}\ färg {svart}{\cdot 2}}}}+{\färg {röd}{x_{n+1}}^{2}}}\höger)\left(({\color {blå}{\left( {\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {svart}{\ cdot 2))))+{\color {blue}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1 }{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)

Således är ojämlikheten bevisad för godtycklig genom induktion med bas . Basen kan bevisas på något av de andra sätten (till exempel genom en ojämlikhet ). [7] Det finns också visuella geometriska bevis för. [8] [9] $n$ $n=2$ $(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0$ $n=2$

Litteratur

Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Olika bevis på Cauchy-Schwarz-ojämlikheten // Octogon matematisk tidskrift. - 2009. - Vol. 17 , iss. 1 . — S. 221–229 .

Anteckningar

↑ Se bevis 11 i Wu, 2009
↑ Bounjakowsky W. "Mémoires de l'Académie des sciences de St-Petersbourg. 7-serien", 1859, t. 1, nr 9.
↑ Wu, 2009 .
↑ Se bevis 2 (för ), 5 i Wu, 2009 för den första summan och bevis 3, 4, 8 ibid. för den andra. $x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i))}{\sum \limits _{i=1}^{n}{ a_{i}^{2}}}}}$
↑ Se bevis 7 i Wu, 2009 .
↑ Se bevisen 1, 6 (för fallet ) och 12 (efter att ha utökat induktionen, d.v.s. summerat olika ) i Wu, 2009 . $n=2$ $S_{n+1}-S_{n}$
↑ Se bevis 6 i Wu, 2009 .
↑ Översikt över bevis för Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten arkiverad 25 augusti 2021 på Wayback Machine , (se geometriska bevis på sid. 15-18) $n=2$
↑ Interaktiv demonstration av det geometriska beviset . Hämtad 25 augusti 2021. Arkiverad från originalet 25 augusti 2021. (obestämd)