Rouge triangel ojämlikhet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 maj 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Den Rouge triangelolikheten förbinder alla parvisa uppsättningar av skillnader av tre uppsättningar i en godtycklig grupp .

Formulering

Låt vara en grupp och . $(G,+)$ $U,V,W\subset G$

Sedan , var . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Triangelolikhet med addition

Det finns ytterligare en ojämlikhet [1] som liknar den Rouge triangelojämlikheten, som dock är svårare att bevisa än den klassiska - med Plünnecke-Rouge ojämlikhet , som i sig bevisas med den klassiska Rouge ojämlikheten.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Bevis

Betrakta en funktion definierad som . Sedan för varje bild finns det åtminstone olika omvända bilder av formen . Det betyder att det totala antalet förbilder inte är mindre än . Betyder att, $\varphi :(VU)\times (UW)\to (VW)$ $\varphi (x,y)=x+y$ $vw\in VW$ $|U|$ $(vu,uw),u\in U$ $|VW||U|$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

En analogi med triangelolikheten

Betrakta en funktion [2] [3] som definierar "avståndet mellan uppsättningar" i termer av Minkowski-skillnaden:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|)))))$

Den här funktionen är inte ett mått , eftersom likheten inte gäller för den , men den är uppenbarligen symmetrisk, och Rouges olikhet antyder direkt triangelolikheten för den: $\rho (A,A)=0$