Generaliserad aritmetisk progression

Generaliserad aritmetisk progression - en uppsättning tal eller element i en godtycklig grupp , representerade som $G$

\left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{ i},\ i=1,\dots ,k}\right\rbrace

för vissa . [ett] ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k},n_{1},\dots ,n_{k))$

Relaterad terminologi

En progression kallas egentlig om alla tal i formen är olika, det vill säga den innehåller element. $a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i))$ ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k))$

Rangen (eller dimensionen ) för progressionen är antalet termer i representationen av varje element (i notationen ovan, talet ). $k$

När , den generaliserade aritmetiska progressionen kallas också den [2] -dimensionella kuben (eftersom det finns en linjär avbildning från ) in i den. $n_{1}=\dots =n_{k}=2$ $d$ $\left\lbrace {0,1}\right\rbrace ^{d}$

När mängden är en vanlig aritmetisk progression . $k=1$

Användningsomfång

Generaliserade aritmetiska progressioner är en konstruktion som är mindre strukturerad än den vanliga aritmetiska progressionen, men som ändå har en icke-trivial struktur (när storleken på progressionen är stor och rangordningen liten). Detta gör dem till ett bekvämt verktyg för att studera och generalisera aritmetiska kombinatoriska satser relaterade till härledning av struktur från de numeriska egenskaperna hos en mängd, såsom additiv energi , dubbleringsfaktor , etc. [3]

Vissa strukturella satser av additiv kombinatorik bevisar förekomsten av en generaliserad aritmetisk progression av tillräckligt liten rang och stor storlek i tillräckligt ordnade mängder, eller möjligheten att täcka en sådan mängd med en generaliserad aritmetisk progression av liten rang och liten (begränsad av någon formel på storleken på uppsättningen) storlek.

Generaliserade aritmetiska progressioner kan användas för att bevisa Roths teorem . [fyra]

I allmänhet är det ofta lättare att bevisa närvaron av generaliserade aritmetiska progressioner i en uppsättning, baserat på några kända fakta om denna uppsättning, än att bevisa närvaron av vanliga aritmetiska progressioner.

Se även

Additiv kombinatorik
Freimans teorem

Anteckningar

↑ OEIS Wiki, "Generaliserade aritmetiska progressioner" . Hämtad 8 maj 2018. Arkiverad från originalet 11 maj 2018. (obestämd)
↑ WT Gowers, "Ett nytt bevis på Szemeredis sats", 2001 . Hämtad 8 maj 2018. Arkiverad från originalet 11 maj 2018. (obestämd)
↑ P. L. Chebyshev Mathematical Laboratory, kurs av Harald Helfgott "Resa genom moderna områden av analys och talteori", föreläsning 2
↑ Graham, 1984 , sid. 29-33.

Litteratur

Ronald Graham. Början på Ramsey-teorin. — M .: Mir, 1984.