Tillsatsenergi

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Additiv energi är en numerisk egenskap hos en delmängd av gruppen som illustrerar strukturen av uppsättningen med avseende på gruppoperationen. Termen myntades av Terence Tao och Wang Wu [1] .

Definition

Låt vara en grupp. $(G,+)$

Den additiva energin för mängderna och betecknas som och är lika med [2] antalet lösningar av följande ekvation: $A\subset G$ $B\subset G$ $E_{+}(A,B)$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

På liknande sätt kan man definiera den multiplikativa energin (till exempel i en ring ) som antalet lösningar till ekvationen: $E_{\times }(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

Extrema värden

Den når sitt minsta värde när alla summor är olika (eftersom ekvationen är giltig endast för ) - till exempel när och är en uppsättning olika generatorer av en grupp från någon minimal genereringsmängd . Sedan $E_{+}(A,B)$ $a+b\ (a\i A,b\in B)$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $A$ $G$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

Det största värdet uppnås när och är en undergrupp av . I det här fallet, för valfritt antal lösningar till ekvationen är , så $E_{+}(A,B)$ $A=B$ $A$ $G$ $x\i A$ $a+b=x\ (a,b\in A)$ $|A|$ ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3))$

Följaktligen kan mellanliggande tillväxtordervärden mellan och betraktas som en större eller mindre indikator på strukturens närhet till undergruppens struktur. För vissa grupper gör vissa restriktioner för den additiva energin det möjligt att bevisa strukturella satser om förekomsten av tillräckligt stora undergrupper inuti (eller någon mängd härledd från den) och om inbäddningsbarheten (eller någon mängd härledd från den) i tillräckligt små undergrupper . [3] Restriktionerna för dessa satser är relaterade till torsionsexponenten för gruppen och dess individuella generatorer. Men för cykliska och torsionsfria grupper finns det liknande satser som tar hänsyn till generaliserade aritmetiska progressioner istället för undergrupper . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ $|A|^{3}$ $A$ $G$ $G$ $A$ $A$ $G$ $G$ $G$

Grundläggande egenskaper

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

{\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2))

, där [2]

A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace

Bevis

Låt oss beteckna . $\lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$

Sedan och, enligt Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten , $E_{+}(A,B)=\summa \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\summa \left({\summa \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

För en primär restring kan den additiva energin uttryckas i termer av trigonometriska summor . Låt oss beteckna . Sedan $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\summa \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}

Bevis

Vi kommer att använda Iverson-notationen och indikatoridentiteten .

E_{+}(A,B)=\summa \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\summa \limits _{a_{1},a_{2}\i A,b_{1},b_{2}\i B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{ 2 }\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ höger)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A }{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg \vert }}^{2}}

Observera att uttrycket i termer av trigonometriska summor endast gäller för additiv energi, men inte för multiplikativ energi, eftersom det uttryckligen använder egenskaperna för addition i . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Applikationer

De additiva och multiplikativa energierna används i additiv och aritmetisk kombinatorik för att analysera kombinatoriska summor och uppsättningsprodukter , i synnerhet för att bevisa summa-produktsatsen . $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$

Elder energier

Det finns två huvudsakliga generaliseringar av ekvationen som definierar additiv energi - med antalet termer och antalet likheter:

E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\summa \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\höger\rbrace

De kallas högre energier [4] och det är ibland möjligt att få uppskattningar för dem utan att få uppskattningar för den vanliga tillsatsenergin. [5] [6] Samtidigt tillåter Hölders ojämlikhet (med betydande försämring) att uppskatta den vanliga energin i termer av de högre.

För parametern i , övervägs ibland reella tal, och inte bara heltal (helt enkelt genom substitution i det sista uttrycket). [7] $k$ $E_k$

Se även

Summa-produktsats
Changs struktursats

Litteratur

Yu. N. Shteinikov. Uppskattningar för trigonometriska summor över undergrupper och några av deras tillämpningar // Matematiska anteckningar. - 2015. - T. 98 , nr. 4 . - S. 606-625 . (ryska)

I. D. Shkredov. Flera nya resultat om högre energier (engelska) // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - Vol. 74 , iss. 1 . - S. 35-73 .

Anteckningar

↑ co.combinatorics - Var kom termen "tillsatsenergi" från? - MathOverflow . Hämtad 23 augusti 2019. Arkiverad från originalet 23 augusti 2019. (obestämd)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Summor och produkter av mängder och uppskattningar av rationella trigonometriska summor i fält av prime ordning, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, volym 65, nummer 4 (394) , s. 25 (enligt paginering)
↑ Föreläsningar från Chebyshevs laboratorium, kurs "Additiv kombinatorik" (Fyodor Petrov), föreläsning 6 , från och med nu 1:11:30
↑ Shkredov, 2013 .
↑ Shteinikov, 2015 , sid. 607, sats 4.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Stronger summa-product inequalities for small sets", sid. 5, följd 7
↑ Shkredov, 2013 , sid. 59, sats 6.3.