Pol- och ladaparadoxen ( ladd and pole paradox , ladder paradox ) är ett tankeexperiment inom ramen för speciell relativitetsteori . Den betraktar en stolpe som flyger parallellt med marken och är därför föremål för Lorentziansk längdsammandragning . Som ett resultat kommer stolpen att passa in i en lada där den normalt inte skulle passa. Å andra sidan, ur stolpens synvinkel, rör sig ladugården medan stolpen står i vila. Då kommer längden på ladugården att minska, och stolpen, som redan är för lång, kommer inte in i ladugården. Den skenbara paradoxen uppstår från antagandet om absolut samtidighet. Så, en stolpe placeras i en lada om båda ändar av stolpen är inne i ladugården samtidigt. Inom relativistik är simultanitet relativt, så frågan om en stolpe finns i en lada måste övervägas med hänsyn till varje observatör, både stolpen och ladugården. Därmed är paradoxen löst.
I den enklaste versionen av paradoxen finns det en lada med öppna dörrar fram och bak, och en stolpe som inte får plats i ladan i vila. Vi accelererar staven till hög horisontell hastighet genom att skjuta den genom ladugården. Stången genomgår på grund av sin höga hastighet en förkortande effekt och blir betydligt kortare. Som ett resultat, flygande genom ladan, under en tid är stolpen helt placerad inuti den. För att visa detta kunde vi stänga båda dörrarna till ladugården samtidigt medan stolpen är inne.
Hittills har ingen paradox observerats. Det uppstår när vi betraktar samma effekt ur polens synvinkel. Eftersom observatören på stolpen rör sig i förhållande till ladugårdens tröghetsreferensram med konstant hastighet, är referensramen för denna observatör också tröghetsram. Därför, enligt relativitetsprincipen, är samma fysiklagar giltiga för polens referensram. Sedan, för stolpen, vilar han själv, och boden tvärtom flyger mot honom i hög hastighet. Detta innebär att ladugårdens längd minskar, och vi kan dra slutsatsen att ladugården under dess spännvidd inte kunde rymma stolpen fullt ut. Därför kan vi inte stänga ladugårdsdörrarna på båda sidor genom att stänga in en stolpe inuti. Denna motsägelse innehåller en paradox.
Lösningen på paradoxen ligger i simultanitetens relativitet: det som samtidigt finns i en referensram (till exempel en lada) kan vara icke-samtidigt i en annan (i detta fall en pol). När vi säger att stolpen "passar" i boden, menar vi egentligen att både fram- och bakkanten av stolpen var inne i boden samtidigt. Eftersom simultanitet är relativ, i två olika referensramar kan stolpen antingen passa eller inte, och observatörerna i båda ramarna skulle ha rätt. Ur ladugårdens synvinkel låg stolpens fram- och baksida båda inne i ladugården någon gång, så stolpen passade. Men ur stolpens synvinkel inträffade inte dessa händelser samtidigt, och stolpen fick inte plats i ladugården.
Detta är lätt att se om, i ladugårdens referensram, så fort stolpen går in helt i ladugården, stängs dörrarna samtidigt under en kort stund. I stolpens referenssystem inträffar följande. Med dörrarna öppna når stolpens framsida bakdörren till ladugården. Den här dörren stängs och öppnas sedan, vilket gör att stolpen kan flyga igenom. Efter en tid flyger den bakre änden av stolpen till ytterdörren till ladan, och i sin tur stängs och öppnas ytterdörren. Detta visar att eftersom samtidighet är relativt kommer båda dörrarna inte nödvändigtvis att stängas samtidigt, och stolpen behöver inte passa helt in i ladugården.
En bra illustration av vad som händer är Minkowski-diagrammet nedan . Den är byggd i ladugårdens referensram. Det vertikala blå området visar rum-tiden för ladugården, det röda området visar rum-tiden för stolpen. X- och t-axlarna för ladugården och x' och t' för stolpen är ansvariga för rum och tid.
I ladugårdens referensram, vid varje tidpunkt, visas stolpen på diagrammet som en horisontell linje parallell med x-axeln, inom det röda området. Den tjocka blå linjen som ligger i det blå segmentet av ladugården representerar stolpen när den är helt i ladugården. Men i polens referensram är samtidiga händelser lokaliserade längs linjer parallella med x'-axeln. Således uttrycks polens position vid varje given tidpunkt genom skärningen av dessa linjer med det röda segmentet. Som du kan se i diagrammet är den tjocka röda linjen aldrig helt i det blå området, vilket gör att stolpen aldrig är helt i ladugården.
I en mer komplicerad version av paradoxen är det möjligt att fysiskt låsa stolpen i ladugården när den väl är helt införd i den. För att göra detta, låt oss anta att i skjulets referensram är bakdörren stängd, det vill säga att stolpen stannar omedelbart i ögonblicket för kollision med den [1] [2] . I kontaktögonblicket stängs även ytterdörren och som ett resultat kommer stolpen att vara helt låst inne i ladugården. Eftersom stolpens relativa hastighet blir noll är den inte längre föremål för längdsammandragning och kommer nu att överstiga ladugårdens längd. Som ett resultat kommer stolpen inte att få plats i ladugården.
Ovanstående resonemang innebar det faktum att längden på stolpen i dess eget referenssystem överstiger ladugårdens längd. Hur var det då möjligt att stänga båda dörrarna till ladan överhuvudtaget, hålla stolpen inne?
Här är det värt att notera en allmän egenskap hos relativistik: efter att ha övervägt ladugårdens referensram drog vi slutsatsen att vi verkligen låser in stolpen i den. Då måste detta vara sant även i andra referensramar, eftersom en stolpe inte kan gå sönder i en ram och förbli intakt i en annan. För att lösa motsägelsen är det nödvändigt att hitta en förklaring till varför stolpen kunde låsas inne i ladugården.
Detta förklaras enligt följande. Trots det faktum att i polens CO stannar alla dess delar samtidigt, i ladans CO, på grund av samtidighetens relativitet, inträffar dessa åtgärder vid olika tidpunkter. Med andra ord, stavens delar ändrar inte hastighet samtidigt, först saktar den främre delen ner, sedan den bakre delen [1] [3] . När bakändan bromsas är stången redan helt i ladan.
Tänk om bakdörren till ladan alltid är stängd? Låt den vara så solid att stolpen omedelbart stannar när den krockar med den utan att bryta igenom den. Sedan, i scenariot som beskrivs ovan, kommer det en punkt i ladugårdens CO där stolpen kommer att passa helt i ladugården innan den kolliderar med bakdörren. Men i ST på stolpen är den för stor för att passa i skjulet, så när den träffar väggen har baksidan av stolpen fortfarande inte nått framdörren till skjulet. Ser ut som en paradox. Frågan är: kommer den bakre änden av stolpen att korsa ytterdörren till ladan eller inte?
Svårigheten uppstår från antagandet att stolpen är absolut solid, det vill säga att den behåller sin form under alla slag. Polar i vardagen är ganska solida och oflexibla. Men att ha egenskapen absolut integritet skulle innebära att kraften fortplantar sig genom föremålet med en oändligt hög hastighet. Med andra ord, om ett föremål trycks från ena sidan, kommer det andra att röra sig omedelbart. Detta bryter mot relativitetsprincipen, som säger att den begränsande hastigheten för utbredning av fysiska interaktioner är ljusets hastighet. Det är nästan omöjligt att märka skillnaden i det verkliga livet, men i den här situationen är detta faktum viktigt. Härav följer att i den speciella relativitetsteorin kan ett objekt inte vara absolut fast.
I det här fallet, i det ögonblick då den främre änden av stolpen kolliderar med bakdörren till ladan, "vet" den bakre änden ännu inte om det, och fortsätter att röra sig (och stolpen "krymper"). I både ladugårdens referensram och stolpens egen referensram rör sig baksidan av stolpen i kollisionsögonblicket åtminstone tills ljushastighetskraften når slutet av stolpen. Då kommer stången faktiskt att vara ännu kortare än den blev till följd av längdminskningen, så den bakre änden av stolpen kommer redan att finnas i ladugården. Det beskrivna bekräftas av beräkningar i båda referenssystemen.
Det är fortfarande osäkert vad som händer när kraften når den bakre änden av stolpen (grönt område i diagrammet). Stången kan rivas i små bitar, och om den är tillräckligt elastisk kommer den att sträcka sig tillbaka till sin ursprungliga längd och ramla ut genom bakdörren till ladugården.
Paradoxen under övervägande föreslogs och löstes ursprungligen av Wolfgang Rindler [1] . I sin ursprungliga formulering faller en snabbt springande person, vars roll spelas av en lång stång, i en grop [4] . Det antas att stolpen är helt över gropen innan accelerationen drar ner varje punkt på stolpen.
Ur gropens synvinkel genomgår stolpen längsgående sammandragning i längd och placeras i gropen. Från stolpens synvinkel reduceras dock gropens längd, och som ett resultat kommer stolpen inte att kunna falla ner i gropen.
Faktum är att accelerationen som samtidigt drar ned alla punkter på polen i gropens CO drar punkterna inte samtidigt i polens egen CO. I stavens referensram kommer först den främre änden av staven att accelerera nedåt, och sedan dess andra oändliga delar, gradvis till den bakre änden. Som ett resultat kommer stolpen att böjas i sin referensram. Det är värt att betona att eftersom stolpen är böjd i sin egen tröghetsreferensram, så finns det en verklig fysisk böjning, åtföljd av en synlig spänning av polen i alla COs.
Betrakta en mer komplex paradox där handlingen utspelar sig i icke-inertial referensramar. Först rör sig en person horisontellt och faller sedan ner. Personen (segmenterad stolpe) är fysiskt deformerad, eftersom stolpen böjs i en SO och förblir rak i den andra. Dessa aspekter för med sig nya problem till paradoxen relaterade till stolpens stelhet, vilket suddar ut huvudessensen av den skenbara motsägelsen. Ett liknande men enklare problem, där endast tröghetsreferensramar förekommer, har kallats ringbar-paradoxen (Ferraro 2007). Stången, som är något längre än ringens diameter, rör sig uppåt till höger. Stångens långa axel ligger i ett horisontellt plan, parallellt med ringens plan. Ringen är i vila just nu. Om, under stavens rörelse, dess centrum vid något tillfälle sammanfaller med ringens centrum, kommer staven att förkortas under inverkan av Lorentz-sammandragningen av längden och kommer att passera genom ringen. En paradox uppstår när man överväger samma situation i spöets SR. Nu rör sig ringen ner till vänster och drar ihop sig längs sin längd horisontellt. Längden på staven kommer att förbli densamma. Hur kommer då staven att passera genom ringen?
Upplösningen av paradoxen ligger i simultanitetens relativitet (Ferraro 2007). Längden på ett fysiskt föremål definieras som avståndet mellan två samtidiga händelser som inträffar i båda ändarna av kroppen. Följaktligen, från relativiteten för samtidighet följer relativiteten för objektets longitudinella längd längs rörelseaxeln, bestämd av Lorentz-kontraktionen av längden. På samma sätt, med hjälp av tre samtidiga händelser, bestäms den fysiska vinkeln, som också kommer att vara relativ. I paradoxen som beskrivs ovan, trots att ringens och polens plan är parallella med varandra i ringens CO, bevaras inte parallelliteten i stavens CO. En stång som inte är föremål för förkortning passerar genom en förkortad ring endast för att ringens plan roterar i förhållande till stolpen.
När man talar matematiskt kan Lorentz-transformationer delas upp i produkten av en rumsrotation och en "korrekt" Lorentz-transformation, där det inte finns någon rumslig rotation. Matematiskt är ringens och stavens paradox lösbar, givet att produkten av två korrekta Lorentz-transformationer kan ge en transformation som visar sig vara felaktig. En sådan transformation kommer att innehålla en komponent som är ansvarig för den rumsliga rotationen.