Parametrisk oscillator

En parametrisk oscillator är en oscillator vars parametrar kan ändras i ett visst område.

En parametrisk oscillator tillhör klassen av icke-stängda oscillatoriska system, där en yttre verkan reduceras till en förändring av dess parametrar över tiden. Förändringar i parametrar, såsom egensvängningsfrekvensen ω eller dämpningsfaktorn β, leder till en förändring av hela systemets dynamik.

Ett välkänt exempel på en parametrisk oscillator är ett barn på en gunga, där en periodiskt växlande höjd av masscentrum innebär en periodisk förändring av tröghetsmomentet, vilket leder till en ökning av svingoscillationsamplituden [3, p. . 157]. Ett annat exempel på en mekanisk parametrisk oscillator är en fysisk pendel, vars upphängningspunkt utför en given periodisk rörelse i vertikal riktning, eller en matematisk pendel, vars längd på tråden periodiskt kan ändras.

Ett allmänt använt exempel på en parametrisk oscillator i praktiken är den parametriska oscillator som används inom många områden. Regelbunden ändring av diodens kapacitans med hjälp av en speciell krets som kallas en "pump" leder till de klassiska svängningarna hos en parametrisk varaktorsoscillator . Parametriska oscillatorer har utvecklats som lågbrusförstärkare som är särskilt effektiva i radio- och mikrovågsfrekvensområdet. Eftersom inte aktiva (ohmiska), men reaktiva resistanser periodiskt ändras i dem, är termiskt brus i sådana generatorer minimalt. Inom mikrovågselektronik fungerar en vågledare / YAG baserad på en parametrisk oscillator på samma sätt. För att excitera parametriska svängningar i systemet ändrar konstruktörer periodiskt systemparametern. En annan klass av enheter som ofta använder metoden för parametriska oscillationer är frekvensomvandlare, i synnerhet omvandlare från ljud till radiofrekvenser. Till exempel omvandlar en optisk parametrisk oscillator en ingångslaservåg till två lägre frekvensutgångsvågor ( ωs , ωi). Begreppet parametrisk resonans är nära relaterat till den parametriska oscillatorn.

Parametrisk resonans är en ökning av amplituden av svängningar som ett resultat av parametrisk excitation. Parametrisk excitation skiljer sig från klassisk resonans, eftersom den skapas som ett resultat av en tillfällig förändring av systemets parametrar och är förknippad med dess stabilitet och stabilitet .

Matematik

Parametrarna för en endimensionell oscillator som rör sig med friktion är dess massa , elastiska koefficient och dämpningskoefficient . Om dessa koefficienter beror på tid, och , Då har rörelseekvationen formen $m$ $k$ $\beta$ $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$

{\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,

$(ett)$

Låt oss ändra tidsvariabeln → , där , vilket bringar ekvation (1) till formen $t$ $\tau$ $d\tau=dt/m(t)$

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Låt oss göra ett annat byte → : $x(\tau)$ $q(\tau )$

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Detta kommer att bli av med dämpningstermen:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )= km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(fyra)$

Därför räcker det faktiskt, utan någon förlust av allmänhet, istället för ekvation (1), att betrakta en rörelseekvation för formen

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

$(5)$

vilket skulle erhållas från ekvation (1) med . $m=const$

Intressant nog, i motsats till fallet med en konstant frekvens , är den analytiska lösningen av ekvation (5) inte känd i allmän form. I det speciella fallet av ett periodiskt beroende är ekvation (5) Hill-ekvationen , och i fallet med ett harmoniskt beroende är det ett specialfall av Mathieu-ekvationen . Ekvation (5) studeras bäst i det fall då oscillationsfrekvensen ändras harmoniskt med avseende på något konstant värde. $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}$ $\omega (t)$ $\omega (t)$

1. Betrakta fallet när , det vill säga ekvation (5) har formen $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon ) t]x=0,

$(6)$

Var är frekvensen av naturliga övertonssvängningar, amplituden för övertonsfrekvensvariationer , konstant är en liten frekvensvariation. Genom en korrekt förändring av tidens ursprung kan konstanten h väljas positivt, därför kommer vi utan förlust av generalitet att anta att . Istället för att lösa ekvation (6), låt oss ställa en mer blygsam fråga: vid vilka värden av parametern sker en kraftig ökning av svängningsamplituden, det vill säga lösningen ökar på obestämd tid? Det kan visas [1] att detta händer när $\omega_{0}$ $h\ll 1$ ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0))$ $h>0$ $\varepsilon$ $x(t)$

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

$(7)$

2. Betrakta fallet när , det vill säga ekvation (5) har formen $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(8)$

Med andra ord sker den harmoniska förändringen av fria vibrationer med en frekvens . I det här fallet uppstår parametrisk resonans, upp till termer , när $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ $h^{2}$

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac { 1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

$(9)$

I synnerhet anger vi villkoren för parametrisk resonans för små svängningar av en matematisk pendel med en upphängningspunkt som svänger i vertikal position, för vilken svängningsekvationerna har formen

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t ]\phi =0,

$(tio)$

var och . I fallet när och begränsar oss till första ordningens expansion i , får vi det $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l))$ $h={\frac {4a}{l))$ $a\ll l$ $h$

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{ l^{\frac {3}{2)))),

$(11)$

Det faktum att parametrisk resonans uppstår i närheten av frekvensen av fria svängningar och dess dubblerade värde är inte av misstag. Det kan visas (se t.ex. [2]) att i fallet med ekvationen ${\displaystyle \omega =\omega _{0))$ ${\displaystyle \omega =2\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(12)$

Parametrisk resonans uppstår när

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

$(13)$

Huvudresonansen uppstår vid dubbelt så stor egenfrekvens som den harmoniska pendeln , och resonansens bredd är lika med . Det är också viktigt att i närvaro av friktion (se ekvation (2)), i ekvationen $\omega_{0}$ ${\displaystyle h\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+ h\cos(\omega t)]x=0,

$(14)$

Fenomenet parametrisk resonans äger rum inte för någon , utan endast för dem . Alltså i närvaro av friktion $h\ll 1$ ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

$(15)$

vilket gör det möjligt att förstärka eller försvaga fenomenet parametrisk resonans genom ett korrekt val av parametrarna , och , beroende på det praktiska behovet. $\gamma$ $\omega _{0}$ $h$

Länkar

Ett exempel på parametrisk instabilitet [1]

Brownsk parametrisk oscillator [2]

Litteratur

[1] L. D. Landau och E. M. Lifshits. Teoretisk fysikkurs I. Mekanik. Moskva. Vetenskapen. 1973 sid. 103-109

[2] A. M. Fedorchenko. Teoretisk mekanik. 1975. Kiev. Ta studenten. 516 sid.

[3] K. Magnus. Oscillationer: Introduktion till studiet av oscillatoriska system. 1982. Moskva. Värld. 304 sid.