En Hopf-yta är en kompakt komplex yta som erhålls som en faktor av ett komplext vektorrum (med noll borttagen) C 2 \ 0 över en fritt verkande finit grupp. Om denna grupp är en grupp av heltal kallas Hopf-ytan primär , annars - sekundär . (Vissa författare använder termen "Hopf-yta", vilket implicit betyder "primär Hopf-yta".) Det första exemplet på en sådan yta hittades av Hopf [1] med en diskret grupp som är isomorf till gruppen av heltal och en generator som verkar på C 2 genom att multiplicera med 2. Detta var det första exemplet på en kompakt komplex yta utan Kähler-metrik .
Analoger av Hopf-ytor av högre dimensioner kallas Hopf-grenrör .
Hopf -ytor är av klass VII och i synnerhet har alla Kodaira-dimension ; och alla deras plugener är lika med noll. Det geometriska släktet är 0. Grundgruppen har en normal central oändlig cyklisk undergrupp med ändligt index. Ytans Hodge rhombus är lika med
ett | ||||
0 | ett | |||
0 | 0 | 0 | ||
ett | 0 | |||
ett |
I synnerhet är det första Betti-talet 1 och det andra Betti-talet är 0. Omvänt visade Kodaira [2] att en kompakt komplex yta med noll andra Betti-tal vars fundamentala grupp innehåller en oändlig cyklisk undergrupp av finita index är en Hopf-yta.
I processen att klassificera kompakta komplexa ytor klassificerade Kodaira primära Hopf-ytor.
Den primära Hopf-ytan erhålls som:
där är gruppen som genereras av polynomkontraktionen .
Kodaira hittade en normal form för . I lämpliga koordinater kan det skrivas som:
var:
är komplexa tal som uppfyller villkoret ; och antingen , eller .Dessa ytor innehåller en elliptisk kurva (bilden av x -axeln ) och, om , då bilden av y -axeln är den andra elliptiska kurvan. I fallet när , Hopf ytan är ett elliptiskt fibrer utrymme över den projektiva linjen, om = för några positiva heltal och , med en avbildning till den projektiva linjen som ges av , annars bara två bilder av axlarna är kurvor.
Picardgruppen alla primära Hopf-yta är isomorf till icke-noll komplexa tal C * .
Kodaira [3] bevisade att en komplex yta är diffeomorf om och endast om den är en primär Hopf-yta.
Varje sekundär Hopf-yta har en ändlig täckande yta utan förgrening, vilket är den primära Hopf-ytan. Detta motsvarar det faktum att dess fundamentala grupp har en undergrupp med ändligt index i mitten som är isomorf till gruppen av heltal. Kato [4] klassificerade dessa ytor genom att hitta ändliga grupper som verkar utan fixpunkter på primära Hopf-ytor.
Många exempel på sekundära Hopf-ytor kan konstrueras på basis av produkten av sfäriska rumsformer och en cirkel.