Hopp yta

En Hopf-yta är en kompakt komplex yta som erhålls som en faktor av ett komplext vektorrum (med noll borttagen) C 2 \ 0 över en fritt verkande finit grupp. Om denna grupp är en grupp av heltal kallas Hopf-ytan primär , annars - sekundär . (Vissa författare använder termen "Hopf-yta", vilket implicit betyder "primär Hopf-yta".) Det första exemplet på en sådan yta hittades av Hopf [1] med en diskret grupp som är isomorf till gruppen av heltal och en generator som verkar på C 2 genom att multiplicera med 2. Detta var det första exemplet på en kompakt komplex yta utan Kähler-metrik .

Analoger av Hopf-ytor av högre dimensioner kallas Hopf-grenrör .

Invarianter

Hopf -ytor är av klass VII och i synnerhet har alla Kodaira-dimension ; och alla deras plugener är lika med noll. Det geometriska släktet är 0. Grundgruppen har en normal central oändlig cyklisk undergrupp med ändligt index. Ytans Hodge rhombus är lika med $-\infty$

		ett
	0		ett
0		0		0
	ett		0
		ett

I synnerhet är det första Betti-talet 1 och det andra Betti-talet är 0. Omvänt visade Kodaira [2] att en kompakt komplex yta med noll andra Betti-tal vars fundamentala grupp innehåller en oändlig cyklisk undergrupp av finita index är en Hopf-yta.

Primära Hopf-ytor

I processen att klassificera kompakta komplexa ytor klassificerade Kodaira primära Hopf-ytor.

Den primära Hopf-ytan erhålls som:

H={\bigg (}{\mathbb {C} }^{2}\backslash 0{\bigg )}/\Gamma ~,

där är gruppen som genereras av polynomkontraktionen . $\Gamma$ $\gamma$

Kodaira hittade en normal form för . I lämpliga koordinater kan det skrivas som: $\gamma$ $\gamma$

(x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)~,

var:

\alpha ,\beta \in {\mathbb {C} }

är komplexa tal som uppfyller villkoret ;

0<|\alpha |\leq |\beta |<1

och antingen , eller .

\;\lambda =0

{\displaystyle \;\alpha =\beta ^{n))

Dessa ytor innehåller en elliptisk kurva (bilden av x -axeln ) och, om , då bilden av y -axeln är den andra elliptiska kurvan. I fallet när , Hopf ytan är ett elliptiskt fibrer utrymme över den projektiva linjen, om = för några positiva heltal och , med en avbildning till den projektiva linjen som ges av , annars bara två bilder av axlarna är kurvor. $\;\lambda =0$ $\;\lambda =0$ ${\displaystyle \alpha ^{m))$ $\beta ^{n}$ $m$ $n$ $x^{m}$ ${\displaystyle y^{-n))$

Picardgruppen alla primära Hopf-yta är isomorf till icke-noll komplexa tal C * .

Kodaira [3] bevisade att en komplex yta är diffeomorf om och endast om den är en primär Hopf-yta. ${\displaystyle \mathbf {S} ^{3}\times \mathbf {S} ^{1))$

Sekundära Hopf-ytor

Varje sekundär Hopf-yta har en ändlig täckande yta utan förgrening, vilket är den primära Hopf-ytan. Detta motsvarar det faktum att dess fundamentala grupp har en undergrupp med ändligt index i mitten som är isomorf till gruppen av heltal. Kato [4] klassificerade dessa ytor genom att hitta ändliga grupper som verkar utan fixpunkter på primära Hopf-ytor.

Många exempel på sekundära Hopf-ytor kan konstrueras på basis av produkten av sfäriska rumsformer och en cirkel.

Litteratur

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompakta komplexa ytor. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Heinz Hopf . Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten // Studier och uppsatser presenterade för R. Courant på hans 60-årsdag, 8 januari 1948. - Interscience Publishers, Inc., New York, 1948. - s. 167-185.
Masahide Kato. Topology of Hopf-ytor // Journal of the Mathematical Society of Japan. - 1975. - T. 27 , nr. 2 . — S. 222–238 . — ISSN 0025-5645 . - doi : 10.2969/jmsj/02720222 . Arkiverad från originalet den 19 december 2012.
Masahide Kato. Erratum till: "Topology of Hopf-ytor" // Journal of the Mathematical Society of Japan. - 1989. - T. 41 , nr. 1 . — S. 173–174 . — ISSN 0025-5645 . - doi : 10.2969/jmsj/04110173 . Arkiverad från originalet den 19 december 2012.
Kunihiko Kodaira. På strukturen av kompakta komplexa analytiska ytor. II // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1966. - V. 88 , nr. 3 . — S. 682–721 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373150 . — .
Kunihiko Kodaira. På strukturen av kompakta komplexa analytiska ytor. III // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1968. - V. 90 , nr. 1 . — s. 55–83 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373426 . — .
Kunihiko Kodaira. Komplexa strukturer på $S^{1}\times S^{3}$ // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . — 1966b. - T. 55 , nej. 2 . — S. 240–243 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.55.2.240 .
Takao Matumoto, Noriaki Nakagawa. Explicit beskrivning av Hopf-ytor och deras automorfismgrupper // Osaka Journal of Mathematics. - 2000. - T. 37 , nr. 2 . — S. 417–424 . — ISSN 0030-6126 .
Ornea L. Hopf mångfaldigt // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .