Operatör semigrupp

En operatorhalvgrupp är en enparametersfamilj av linjära avgränsade operatorer i ett Banach-utrymme . Teorin om operatorsemigrupper uppstod i mitten av 1900-talet i verk av så välkända matematiker som Hille ( eng. Einar Hille ), Phillips ( eng. Ralph Saul Phillips ), Yosida , Feller . De huvudsakliga tillämpningarna av denna teori är: abstrakta Cauchy-problem, paraboliska ekvationer , stokastiska processer .

Definition

Låt vara ett Banach-utrymme . En halvgrupp av operatorer i rymden är en familj av avgränsade operatorer , , som uppfyller följande egenskaper: $X$ $\{T_{t}\}_{t\geqslant 0}$ $X$ $T_{t}:X\to X$ $t\geqslant 0$

$T_{t}T_{s}=T_{t+s}$ , där multiplikationen av operatorer är sammansättningen av dessa mappningar.
$T_{0}=I$ , var är identitetsoperatören i utrymmet . $jag$ $X$

Det följer av definitionen av en halvgrupp att det för varje halvgrupp finns konstanter så att: $M>0,\alpha \in R$

\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.

Semigruppsgenerator

Det centrala begreppet i teorin om semigrupper av operatorer är begreppet en generator av en semigrupp. Generatorn av en halvgrupp eller den oändliga genererande operatorn för en semigrupp är operatorn ${\displaystyle T_{t))$

A:X\supset D(A)\to X

A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t)),\ \varphi \in D(A),

där domänen definieras som en uppsättning element så att den givna gränsen existerar. Halvgruppsgeneratorn är en linjär, generellt sett, obegränsad operator. Om semigruppen är starkt kontinuerlig, är generatorns domän tät i , och generatorn själv är en sluten operatör. Å andra sidan är inte varje sluten, tätt definierad operator en generator av en halvgrupp. Generatorn bestäms unikt av semigruppen; en generator definierar unikt en halvgrupp om den är starkt kontinuerlig. $D(A)$ $X$

Typer av semigrupper

Beroende på jämnheten med avseende på parametern övervägs olika typer av semigrupper.

En halvgrupp kallas enhetligt kontinuerlig om följande villkor är uppfyllt: ${\displaystyle T_{t))$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0

där gränsen förstås i betydelsen operatortopologi .

En semigrupp kallas en -semigroup eller en starkt kontinuerlig semigroup om följande villkor är uppfyllt: ${\displaystyle T_{t))$ $C_{0}$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0

för alla fasta element . $\varphi \in X$

Kontrakterande semigrupper spelar en viktig roll i ansökningar. En starkt kontinuerlig semigrupp sägs vara kontraktiv om följande villkor är uppfyllt:

\|T_{t}\|\leqslant 1

En starkt kontinuerlig halvgrupp kallas en analytisk halvgrupp om den analytiskt kan utvidgas till någon sektor ${\displaystyle T_{t))$

\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2

på ett sådant sätt som är kontinuerligt i . $T_{\lambda }$ ${\overline {\Delta }}_{\delta }$

Kriterier för generatorer av semigrupper

En linjär operator i rymden genererar en enhetligt kontinuerlig halvgrupp om och bara om den är en begränsad operator. Detta innebär att i änddimensionella rum är alla semigrupper enhetligt kontinuerliga. $A$ $X$ $A$

Kriteriet för en generator av en starkt kontinuerlig halvgrupp är följande teorem: En linjär operator är en generator av en starkt kontinuerlig halvgrupp om och endast om följande villkor är uppfyllda: $A$

Operatören är stängd. $A$
Definitionsdomänen är tät i . $D(A)$ $X$
Det finns sådana att alla siffror är upplösande för operatören . $\lambda _{0}$ ${\displaystyle \lambda \geqslant \lambda _{0))$ $A$
Det finns en konstant sådan att för all ojämlikhet $c_{1}>0$ ${\displaystyle \lambda >\lambda _{0))$

\|(\lambda IA)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k =1,2,\dots

Om istället för villkor 4) villkoret

\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0))},

då är operatören också en generator av en starkt kontinuerlig halvgrupp. Fallet är känt som Hille-Yosida-satsen : en linjär operator är en generator av en sammandragande semigrupp om och endast om följande villkor är uppfyllda: $A$ $\lambda _{0}=0$ $A$

Operatören är stängd. $A$
Definitionsdomänen är tät i . $D(A)$ $X$
Alla nummer är upplösande för operatören . $\lambda \geqslant 0$ $A$
För alla gäller följande ojämlikhet: $\lambda >0$ $\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda )),$

För att generatorn av en starkt kontinuerlig halvgrupp ska vara generatorn av en analytisk halvgrupp, är det nödvändigt att kräva betydligt större förhållanden på operatörens spektrum . $A$ $A$

En operator är en generator av en analytisk semigrupp om och endast om det finns siffror och att mängden är fri från operatorns spektrum och ojämlikheten $A$ $\pi /2<\omega \leqslant \pi$ $q\geqslant 0$ ${\displaystyle \Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\))$ $A$

\|(\lambda IA)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },

där konstanten inte beror på . $c_{2}>0$ $\lambda$

Ett annat ekvivalent kriterium för generatorn av en analytisk halvgrupp är att generatorn av en starkt kontinuerlig halvgrupp är en generator av en analytisk halvgrupp om

\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,

där är en konstant oberoende av . $C>0$ $t$

Anteckningar

Litteratur

Pazy A. Semigrupper av linjära operatorer och tillämpningar på partiella differentialekvationer. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
Kerin S. G. Linjära differentialekvationer i ett Banach-rum. — M.: Nauka, 1967.
Hille E., Phillips R. Funktionsanalys och semigrupper. — M.: IL, 1962.
Kato T. Perturbationsteori för linjära operatorer. — M.: Mir, 1972.
Engel K.-J., Nagel R. Enparametersemigrupper för linjära evolutionekvationer. Springer-Verlag, NY, 2000.
R.V. Shamin. Semigrupper av operatörer. M.: RUDN, 2008. - 205 sid.