Sekventiellt statistiskt test

Ett sekventiellt statistiskt test är ett sekventiellt statistiskt förfarande som används för att testa statistiska hypoteser i en sekventiell analys .

Låt en slumpvariabel med en okänd (helt eller delvis) fördelning vara tillgänglig för observation i ett statistiskt experiment (formellt, i matematisk notation, , där sannolikhetsutrymmet är utrustat med -algebra för händelser , och är mätbart med avseende på Borel -algebra). $\displaystyle X$ ${\mathbb P}$ $X:\Omega \mapsto \mathbb {R}$ $\Omega$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$ $\displaystyle X$ $\sigma$

Låt nollhypotesen prövas mot alternativet . $H_{0}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $H_{1}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$

I varje steg av det statistiska experimentet, oavsett de andra stadierna, observeras en slumpvariabel - en kopia av , tills , där är någon (slumpmässig) stopptid . Ett sekventiellt statistiskt test är ett par , där är någon funktion av , med värdet 0 eller 1 (beslut, respektive, till förmån för noll- eller alternativhypotesen ). $i\geq 1$ ${\displaystyle \displaystyle X_{i))$ $\displaystyle X$ $i\leq \nu$ $\displaystyle \nu$ $(\nu ,\delta )$ $\displaystyle \delta$ $(X_{1},\dots,X_{\nu})$ $H_{0}$ $H_1$

Denna definition kan ges en formell betydelse med hjälp av begreppet stopptid med avseende på sekvensen av -algebror som genereras av slumpvariabler , . Då måste den avgörande funktionen vara mätbar med avseende på -algebra av händelser som föregår ögonblicket : . $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\dots X_{n})$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n))$ $n=1,2,\dots$ $\displaystyle \delta$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{\nu }$ $\nu$ ${\mathcal {F}}_{\nu}=\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\nu \leq n\}\in {\mathcal {F}} _{n}\}$

Kraftfunktionen för kriteriet vid en "punkt" definieras som . If , då kallas typ I-felsannolikheten (sannolikheten att förkasta nollhypotesen när den är sann). If , då kallas typ II-felsannolikheten (sannolikheten att acceptera nollhypotesen när den är falsk). $(\nu ,\delta )$ ${\mathbb P}$ $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )=\mathbb {P} (\delta =1)$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$ $\mathbb {P} (\delta =0)$

Randomiserade sekventiella kriterier

Ett randomiserat sekventiellt hypotestest kan definieras som ett par , där , , och , är (mätbara) funktioner som tar värden mellan 0 och 1, . Vid varje steg (om experimentet har nått det) tolkas det som sannolikheten för att stoppa i detta skede, utan ytterligare observationer, och - som sannolikheten att förkasta nollhypotesen om stoppet i detta skede inträffade. $\displaystyle (\psi ,\phi )$ $\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$ $\psi _{n}=\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ $\phi _{n}=\phi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ $n=1,2,\prickar$ $n\geq 1$ $\psi _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ $\phi _{n}(X_{1},\dots,X_{n})$

$\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ kallas den randomiserade stoppregeln, och kallas den randomiserade beslutsregeln. $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$

Om alla endast tar värdena 0 (fortsätt observationer) och 1 (stopp), definierar stoppregeln en icke-randomiserad stopptid . På liknande sätt, om alla bara accepterar värdena 0 (accepterar nollhypotesen) och 1 (förkastar nollhypotesen), så definierar beslutsregeln en icke-randomiserad beslutsfunktion: om . ${\displaystyle \displaystyle \psi _{n))$ $\displaystyle \psi$ ${\displaystyle \nu =\min\{n:\psi _{n}(X_{1},\dots,X_{n})=1\))$ ${\displaystyle \displaystyle \phi _{n))$ $\displaystyle \phi$ ${\displaystyle \displaystyle \delta =\phi _{n))$ $\displaystyle \psi _{n}=1$

Kraftfunktionen för kriteriet vid "punkten" definieras som , där är den matematiska förväntan med avseende på . Om , då är sannolikheten för ett typ I-fel. Om , då är sannolikheten för ett typ II-fel , där . Följaktligen definieras den genomsnittliga urvalsstorleken vid användning av stoppregeln som om (annars ). $(\psi ,\phi )$ ${\mathbb P}$ $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots ( 1-\psi _{i-1})\psi _{i}\phi _{i}$ $\mathbb {E}$ ${\mathbb P}$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )-\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\ psi_{i-1})\psi_{i}$ $\psi$ $E\nu =\sum _{i=1}^{\infty }i\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1}) \psi_{i}$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )=1$ $E\nu=\infty$

Exempel

Sekventiella sannolikhetskvotstest ( Wald test )

Länkar

Shiryaev A. N. Statistisk sekventiell analys. Optimala stoppregler - M.: Nauka, 1976.
Ghosh, M., Mukhopadhyay, N. och Sen, PK Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.