Potentiellt vektorfält
Potentiellt (eller irrotations ) vektorfält i matematik - vektorfält , som kan representeras som gradienten av någon skalär funktion av koordinater. En nödvändig förutsättning för potentialiteten hos ett vektorfält i tredimensionellt utrymme är fältkrullens likhet med noll. Detta villkor är emellertid inte tillräckligt - om det aktuella utrymmet inte bara är anslutet , kan skalärpotentialen vara en funktion med flera värden.
I fysik som handlar om kraftfält , kan det matematiska villkoret för potentialiteten hos ett kraftfält representeras som kravet på att arbetet ska vara lika med noll när partikeln, som påverkas av fältet, rör sig omedelbart längs en sluten krets. Denna kontur behöver inte vara banan för en partikel som rör sig under inverkan av endast givna krafter. Som fältpotential i detta fall kan man välja arbetet med en testpartikels momentana rörelse från någon godtyckligt vald utgångspunkt till en given punkt (per definition beror detta arbete inte på rörelsevägen). Till exempel är ett statiskt elektriskt fält potential , liksom ett gravitationsfält i den Newtonska gravitationsteorin.
I vissa källor anses endast ett fält med en tidsoberoende potential vara ett potentiellt kraftfält . Detta beror på det faktum att den tidsberoende potentialen för krafter, generellt sett, inte är den potentiella energin hos en kropp som rör sig under inverkan av dessa krafter. Eftersom krafterna inte verkar på en gång, kommer krafternas arbete på kroppen att bero på dess bana och på passagehastigheten längs den. Under dessa förhållanden är den potentiella energin i sig inte definierad, eftersom den per definition endast måste bero på kroppens position, men inte på vägen. Icke desto mindre, även för detta fall, kan potentialen för krafter finnas, och kan ingå i rörelseekvationerna på samma sätt som den potentiella energin för de fall då den existerar.
Låta vara ett potentiellt vektorfält; det uttrycks i termer av potentialen som
(eller i en annan post ).
För kraftfältet och krafternas potential skrivs samma formel som
,
det vill säga för krafter är potentialen . När U inte är beroende av tid är det en potentiell energi, och då visas tecknet "-" helt enkelt per definition. I övrigt behålls skylten för enhetlighetens skull.
För fältet är integralens banoberoendeegenskap uppfylld :
,
Detta är liktydigt med
.
Integralen med sluten slinga blir 0 eftersom start- och slutpunkterna är desamma. Omvänt kan den föregående formeln härledas från denna genom att dela upp en sluten slinga i två öppna slingor.
Det nödvändiga villkoret skrivs som (eller i en annan notation ).
I differentialformernas språk är ett potentiellt fält en exakt 1-form - det vill säga en form som är den (yttre) differentialen för en 0-form (funktion). Gradienten motsvarar att ta den externa differentialen för 0-formen (potential), krullen motsvarar att ta den externa differentialen av 1-formen (fältet). Det nödvändiga villkoret följer av det faktum att den andra externa differentialen alltid är lika med noll: . Integralformler följer av (generaliserad) Stokes sats .
