Fock tillstånd

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 augusti 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Ett Fock-tillstånd är ett kvantmekaniskt tillstånd med ett exakt definierat antal partiklar . Uppkallad efter den sovjetiske fysikern V. A. Fok .

Egenskaper för Fock-tillstånd

Det finns n partiklar i Fock-tillståndet , där n är ett heltal. $|n\rangle$

Det finns inte ett enda kvantum i grundtillståndet . Kallas ofta även vakuumtillståndet. $|0\intervall$ $|0\intervall$

När man överväger andra kvantisering , utgör Fock-tillstånden den mest bekväma basen för Fock-utrymmet .

Åtgärden för skapelse- och förstörelseoperatörerna på dem är ganska enkel. De följer följande Bose-Einstein-statistik (fallet med partiklar med heltalsspinn ) :

a^{\dolk }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle

a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle

|n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!)}}}(a^{\dolk })^{n}|0\rangle

var och är förintelse- respektive skapandeoperatörerna. Liknande relationer gäller för Fermi-Dirac-statistiken (för partiklar med halvheltalsspinn ) . $a$ ${\displaystyle a^{\dolk ))$

Av dessa relationer följer att

<a^{\dolk }a>=n

och

Var(a^{\dolk}a)=0,

således ger mätningen av antalet partiklar i Fock-tillståndet alltid ett visst värde utan fluktuationer. $a^{\dolk }a$

Focktillstånd är inte egenfunktioner för Hamiltonian i allmänhet

I den andra kvantiseringsformalismen ges densiteten av Hamiltonian av

{\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)

[1] ,

och den allmänna Hamiltonian skrivs som:

{\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*} (x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\därför {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}

I Schrödingers fria teori (dvs för icke-interagerande partiklar i den icke-relativistiska approximationen) [1]

{\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{ (+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)

och

\int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x) =\delta _{nn'}

och

\psi (x)=\summa _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)

var är förintelseoperatören. $en$

\därför {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dolk }\psi _{n'}^ {(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)

Endast för icke-interagerande partiklar och pendling; i allmänhet pendlar de inte. För icke-interagerande partiklar ${\mathfrak {H}}$ $en$

{\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dolk }\psi _{n'}^{( +)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\summa _{n,n'}E_ {n}^{0}a_{n'}^{\dolk }a_{n}\delta _{nn'}=\summa _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\ dolk }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N))

Om de inte pendlar kommer Hamiltonian inte att ha ovanstående uttryck. Därför, i det allmänna fallet, är Fock-tillstånd inte tillstånd i ett system med ett visst energivärde.

Energitillstånd

Focktillstånden är egenfunktioner av fältets Hamiltonian : $H=\hbar \omega (a^{\dolk }a+1/2)$

H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,

var är energin för motsvarande tillstånd . $E_{n}$ $|n\rangle$

Genom att ersätta Hamiltonian i uttrycket ovan får vi:

\hbar \omega \left(a^{\dolk}a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{ 2}}\right)|n\rangle

Följaktligen är tillståndsenergin , där är fältfrekvensen. $|n\rangle$ $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2))\right)$ $\omega$

Återigen noterar vi att energin i nolltillståndet (jord) tillståndet c skiljer sig från noll, och det kallas nollenergi. $n=0$

Vakuumfluktuationer

Se även Rabi-frekvens

Vakuumtillståndet, eller , är det tillstånd som har lägst energi. För honom $|0\intervall$

a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dolk }.

De elektriska och magnetiska fälten och vektorpotentialen har samma form:

F({\vec {r)),t)=\varepsilon ae^{i(({\vec {k))\cdot {\vec {r)))-\omega t)}+

h.c.

Det är lätt att se att värdet av fältoperatören för detta tillstånd försvinner i vakuumtillståndet:

\langle 0|F|0\rangle =0.

Det kan dock visas att kvadraten på fältoperatorn inte är lika med noll.

Vakuumfluktuationer är ansvariga för många intressanta fenomen inom kvantoptik, såsom Lamb shift och Casimir-kraften .

Anteckningar

↑ 1 2 Gross, 1999 , sid. 189.

Se även

Kvantharmonisk oscillator

Länkar

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). - 6:e upplagan, reviderad. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 sid. - ("Teoretisk fysik", volym III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Schweber S., Introduktion till relativistisk kvantfältteori, [transl. från engelska. ], M., 1963.
Khoruzhy S. S., Introduktion till algebraisk kvantfältteori, Moskva, 1986.
Franz Gross. Relativistisk kvantmekanik och fältteori. - Wiley-VCH, 1999. - ISBN 0471353868 .