Fock utrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 december 2019; kontroller kräver 13 redigeringar .

Fock-utrymmet är en algebraisk konstruktion av Hilbert-rum med en partikel som används i kvantfältteorin för att beskriva kvanttillstånden för ett variabelt eller okänt antal partiklar . Uppkallad efter den sovjetiske fysikern Vladimir Aleksandrovich Fok .

Formellt definieras Fock-utrymmet av den direkta summan av delrum av tensorprodukten (tensorkrafter) av en-partikel Hilbert-rum

F_{\nu }(H)=\bigoplus _{{n=0}}^({\infty }}S_{\nu }H^{{\otimes n}}

där S ν är en operator som gör Hilbertrymden symmetrisk eller antisymmetrisk, beroende på om beskrivningen är av bosoniska (ν = +) eller fermioniska (ν = −) partiklar; H är ett Hilbert-rum med en partikel som beskriver kvanttillstånden för en enskild partikel. Fock-utrymmet tjänar till att beskriva kvanttillstånden i ett system av n partiklar eller en överlagring av dessa tillstånd. Fock-staterna är den naturliga basen för Fock-utrymmet. (Se även Slater's Determinant .)

Exempel

|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }

Här är n det totala antalet partiklar, där den första har en vågfunktion φ 1 , nästa φ 2 och så vidare upp till den n :te partikeln, där φ i representerar vilken vågfunktion som helst i Hilbertrymden med en enda partikel ( H ) . På tal om en partikel i tillståndet φ i , är det nödvändigt att ta hänsyn till att i kvantmekaniken är identiska partiklar omöjliga att skilja från varandra, och i samma Fock-utrymme kommer de också att vara identiska (beskrivningar av olika partiklar utförs med tensor produkter av motsvarande antal Fock-utrymmen). Detta är det starkaste påståendet i Focks formalism, varav det följer att tillstånden i huvudsak är fullkomligt symmetriska. Till exempel, om staten | Ψ > är fermionisk, då blir den lika med noll om två eller flera φ i är lika, eftersom ingen av två (eller flera) fermioner kan vara i samma kvanttillstånd enligt Pauli-principen . Dessutom är alla tillstånd idealiskt normaliserade, vilket också följer av ovanstående överväganden.

En användbar och bekväm grund för detta utrymme är grunden för partikelbeläggningstalet . Så, om | ψ i > är grunden för H , då kan vi anta att det finns n 0 partiklar i detta utrymme i tillståndet | ψ 0 >, n 1 partiklar i tillståndet | ψ 1 >, …, n k partiklar i tillståndet | ψ k >, dvs.

|n_{0},n_{1},\cdots ,n_{k}\rangle _{\nu },

för varje n i , där i tar värden från 0 till 1 för fermioner och 0,1,2, … för bosoner.

Ett sådant tillstånd kallas Fock-staten. Om du förstår | | ψ i > som stabila tillstånd för ett fält med godtyckliga storlekar, det vill säga ett strikt definierat antal partiklar, definieras Fock-utrymmet som en ganska stor uppsättning icke-interagerande partiklar. Det vanligaste tillståndet är en linjär överlagring av Fock-tillstånd. De två operatörerna av största vikt här är skapelse- och förintelseoperatorerna , som agerar på Fock-utrymmet, lägger till och tar bort en partikel med ett kvanttillstånd som tillskrivs den. De betecknas respektive och , och hänvisar till det kvantutrymme där partikeln läggs till eller tas bort. Det är ofta bekvämt att arbeta med tillstånd av basen för utrymmet H så att dessa operatörer lägger till eller tar bort exakt en partikel till ett givet utrymme. Dessa operatörer fungerar också som grunden för mer allmänna Fock-utrymmesoperatörer, till exempel antalet partikeloperatör , som ställer in antalet partiklar i ett visst tillstånd till . $a^{{\dolk }}(\phi _{i})$ $a(\phi _{i})$ $\phi_i$ $|\phi _{i}\rangle$ $|\phi _{i}\rangle$ $a^{{\dolk }}(\phi _{i})a(\phi _{i})$

Litteratur

Berezin F. A. Andra kvantiseringsmetoden. — M.: Nauka, 1986. — 320 sid.
V. Fock. Z Phys . 75, 622-647 (1932)
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. — M.: Nauka, 1984. — S. 98-100.
MC Reed, B. Simon . Metoder för modern matematisk fysik, volym II. - Academic Press, 1975. - S. 328.