Pascals tecken

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 juli 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Pascals tecken är en matematisk metod som låter dig få tecken på delbarhet med valfritt tal. Ett slags "universellt tecken på delbarhet".

Allmän vy

Låt det finnas ett naturligt tal skrivet i decimalnotation som , där är enheter, är tiotal osv. $A$ $\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ $a_{0}$ $a_{1}$

Låta vara ett godtyckligt naturligt tal med vilket vi vill dividera och visa tecknet på delbarhet med det. $m$

Vi hittar ett antal rester enligt följande schema:

r_{1}

- återstoden efter att ha dividerat med

tio

m

r_{2}

- återstoden efter att ha dividerat med

10\cdot r_{1}

m

r_3

- återstoden efter att ha dividerat med

10\cdot r_{2}

m

…

r_{n}

är resten efter att ha dividerat med .

10\cdot r_{{n-1}}

m

Formellt:

r_{1}\equiv 10{\pmod m}

r_{i}\equiv 10\cdot r_{{i-1}}{\pmod m},\;i=\overline {2...n}

Eftersom det finns ett ändligt antal rester (nämligen inte fler än ), kommer denna process att gå i cykler (senast i steg) och den kan inte fortsättas ytterligare: Med början från några , var är den resulterande sekvensperioden . För enhetlighet kan vi anta att . $m$ $m$ $i=i_{0}:~r_{{i+p}}=r_{i}$ $sid$ $\{r_{i}\}$ $r_{0}=1$

Då har den samma rest efter division med som siffran $A$ $m$

$r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}$ .

Bevis

Genom att använda det faktum att vi i ett algebraiskt uttryck modulo kan ersätta tal med deras rester när de divideras med , får vi: $m$ $m$

$A{\pmod {m}}=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}){\pmod {m} }=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot 10+a_{0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m}}$ $=(({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10+a_{1})\cdot r_{1}+a_{0}r_{ 0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10r_{1}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}=\ldots =$ $(a_{n}r_{n}+\ldots +a_{2}r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m))$

Huvudsakliga specialfall

Testa för delbarhet med 2

Här . Sedan dess . Härifrån får vi ett välkänt tecken: resten av att dividera ett tal med 2 är lika med resten av att dividera dess sista siffra med 2 , eller vanligtvis: ett tal är delbart med 2 om dess sista siffra är jämn . $m=2$ $10~\vdots ~2$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

Tecken på delbarhet med 3 och 9

Här eller . Eftersom ( återstoden av att dividera 10 med både 3 och 9 är 1 ), då allt . Detta betyder att resten av att dividera ett tal med 3 (eller 9) är lika med resten av att dividera summan av dess siffror med 3 (respektive 9) , eller på annat sätt: talet är delbart med 3 (eller 9) om summan av dess siffror är delbar med 3 (eller 9) . $m=3$ $m=9$ $10^{i}\equiv 1{\pmod {3)),i\in \mathbb {N}$ $r_{i}=1$

Testet för delbarhet med 4

Här . Vi hittar sekvensen av rester: . Härifrån får vi ett tecken: resten av att dividera ett tal med 4 är lika med resten av att dividera med 4 , eller, notera att resten bara beror på de två sista siffrorna: ett tal är delbart med 4 om talet som består av dess sista 2 siffror är delbara med 4 . $m=4$ $r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle 2\cdot a_{1}+a_{0))$

Tecken på delbarhet med 5

Här . Sedan dess . Härifrån får vi ett välkänt tecken: resten av att dividera ett tal med 5 är lika med resten av att dividera dess sista siffra med 5 , eller vanligtvis: ett tal är delbart med 5 om dess sista siffra är 0 eller 5 . $m=5$ $10~\vdots~5$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

Tecken på delbarhet med 7

Här . Vi hittar resten. $m=7$

$10=1\cdot 7+3\Högerpil r_{1}=3$
$10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\högerpil r_{2}=2$
$10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\högerpil r_{3}=6$
$10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\högerpil r_{4}=4$
$10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\högerpil r_{5}=5$
$10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Högerpil r_{6}=1=r_{0}$ , är cykeln stängd.

Därför, för vilket nummer som helst

A=\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}

dess återstod vid division med 7 är

a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\ldots

. Exempel

Tänk på numret 48916. Som visats ovan,

48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=

6+3+18+48+16=91\equiv 0{\pmod {7}}

så 48916 är delbart med 7.

Tecken på delbarhet med 11

Här . Sedan , då alla , en . Härifrån kan du få ett enkelt kriterium för delbarhet med 11: $m=11$ $10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1{\pmod {11}}$ $r_{2i}=1$ $r_{2i-1}=10\equiv -1{\pmod {11))$

resten av att dividera ett tal med 11 är lika med resten av att dividera summan av siffror, där varje udda siffra (med början från enheter) tas med ett "-"-tecken, med 11.

Enkelt uttryckt:

om du delar upp alla siffror i ett nummer i 2 grupper - genom en siffra (alla siffror med udda positioner kommer att falla in i en grupp och jämna i den andra), lägg till alla siffror i varje grupp och subtrahera ett belopp som tas emot från annat, sedan resten av att dividera med 11. Resultatet blir detsamma som det ursprungliga talet.

Litteratur

Vorobyov N. N. Tecken på delbarhet . - 4:e uppl. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ). — ISBN 5-02-013731-6 .