Periodisk funktion

En periodisk funktion är en funktion som upprepar sina värden med ett regelbundet intervall av argumentet, det vill säga den ändrar inte sitt värde när något fast tal som inte är noll ( funktionens period ) läggs till argumentet över hela definitionsområdet.

Mer formellt kallas en funktion periodisk med en period om för varje punkt från dess definitionsdomän, punkterna och också tillhör dess definitionsdomän, och likheten är sann för dem . $T\neq 0$ $x$ $x+T$ $xT$ $f(x)=f(x+T)=f(xT)$

Baserat på definitionen gäller likheten också för en periodisk funktion , där är vilket heltal som helst. $f(x)=f(x+nT)$ $n$

Alla trigonometriska funktioner är periodiska.

Formell definition

Låt det finnas en Abelisk grupp (vanligtvis antas det - reella tal med additionsoperationen eller - komplexa tal ). En funktion (där är en godtycklig uppsättning av dess värden) kallas periodisk med en punkt if $M$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {C} ,+)$ $f:M\to N$ $N$ $T\inte=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Om denna likhet inte är uppfylld för någon , kallas funktionen aperiodisk . $T\i M,\,T\inte =0$ $f$

Om det för en funktion finns två perioder , vars förhållande inte är lika med ett reellt tal , det vill säga då kallas det en dubbelperiodisk funktion . I det här fallet bestäms värdena i hela planet av värdena i parallellogrammet som sträcks av . $f:\mathbb {C} \to N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\inte \in \mathbb {R}$ $f$ $f$ $T_{1},T_{2}$

Notera

Funktionens period definieras tvetydigt. I synnerhet, if är en period, då är vilket element som helst i formen (eller , om multiplikationsoperationen är definierad i funktionens domän), där är ett godtyckligt naturligt tal , också en period. $T$ $T'$ $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\in \mathbb {N}$

Mängden av alla perioder i en funktion bildar en additiv grupp .

Men om uppsättningen perioder har det lägsta värdet kallas det för funktionens huvudperiod (eller huvudperiod) . ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \))$

Exempel

De reella funktionerna sinus och cosinus är periodiska med en huvudperiod sedan dess $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

Funktionerna tangent och cotangens är periodiska med en huvudperiod . $\pi$

Funktionen definierad på heltal är periodisk med huvudperioden . ${\displaystyle f(x)=(-1)^{x))$ $2$

En funktion lika med en konstant är periodisk, och alla tal som inte är noll är dess period. Funktionen har ingen huvudperiod. $f(x)=\mathrm {const}$

Dirichlet-funktionen är periodisk, dess period är vilket rationellt tal som helst som inte är noll. Den har inte heller någon huvudperiod.

Funktionen är aperiodisk. $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$

Vissa funktioner i periodiska funktioner

Summan av två funktioner med jämförbara perioder och är inte alltid en funktion med en huvudperiod lika med den minsta gemensamma multipeln och (dock kommer detta tal helt enkelt att vara en period). Till exempel är funktionens huvudperiod , funktionens period är , och deras summa har uppenbarligen huvudperioden . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ $\pi$

Summan av två funktioner med inkommensurerbara perioder är inte alltid en icke-periodisk funktion.

Det finns periodiska funktioner som inte är lika med en konstant vars perioder är inkommensurerbara tal. Till exempel, för en funktion som tar värdena 1 för algebraiskt x och 0 i andra fall, är alla algebraiska tal en period, och bland algebraiska tal finns det också inkommensurerbara. $f(x)$

Se även

Kvasiperiodisk funktion

Länkar

Periodisk funktion (Great Soviet Encyclopedia)