D'Alembert-Lagrange-principen

D'Alembert-Lagrange-principen är en av mekanikens grundläggande principer , enligt vilken, om tröghetskrafter adderas till de givna (aktiva) krafterna som verkar på punkterna i ett mekaniskt system , då när ett mekaniskt system rör sig med idealiska anslutningar vid varje tidpunkt är summan av elementära verk av aktiva krafter och elementärt arbete av tröghetskrafter på varje möjlig (virtuell) förskjutning av systemet lika med noll [1] .

D'Alembert-Lagrange-principen är en kombination av principen om möjliga förskjutningar av statik och d'Alembert-principen om dynamik. Dess användning gör det möjligt att studera rörelser av mekaniska system med idealiska begränsningar utan att införa okända reaktioner av begränsningar i rörelseekvationerna.

Slutsats

Låt ett mekaniskt system med holonomiska, fasthållande, ideala förbindelser representeras av materialpunkter med massor [2] . Låt aktiva krafter med resultanten och passiva krafter med resultanten appliceras på varje materialpunkt . Enligt Newtons andra lag : ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{N))$ $mi}}$ ${\displaystyle {\vec {F_{i)))))$ ${\displaystyle {\vec {N_{i)))))$

m_{i}{\vec {w_{i}}}={\vec {F_{i}}}+{\vec {N_{i}}}

eller

{\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}}+{\vec {N_{i}}}=0

(ett)

Låt oss nu fixa ett visst ögonblick och informera det mekaniska systemet om den virtuella (möjliga) förskjutningen . Låt oss multiplicera varje ekvation (1) skalärt med motsvarande och summera alla ekvationer: $\delta {\vec {r_{1}}},\delta {\vec {r_{2}}},...,\delta {\vec {r_{N}}}$ ${\displaystyle \delta {\vec {r_{i))))$

\sum _{i=1}^{N}({\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}})\delta {\vec {r_{ i))}+\summa _{i=1}^{N}{\vec {N_{i))}\delta {\vec {r_{i))}=0

Summan av arbetet med ideala bindningar på varje virtuell förskjutning är noll, därför:

\sum _{i=1}^{N}({\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}})\delta {\vec {r_{ i}}}=0

Denna likhet kallas den allmänna mekanikens ekvation .

I alla mekaniska system med idealiska begränsningar, vid varje rörelseögonblick vid varje virtuell förskjutning, är summan av mekaniskt arbete som utförs av aktiva krafter och tröghetskrafter alltid lika med noll.

Se även

Anteckningar

↑ Targ S. M. D'Alembert - Lagrangeprincip // Fysik. Encyclopedia / ed. A. M. Prokhorova - M., Great Russian Encyclopedia, 2003. - ISBN 5-85270-306-0 . - Med. 142
↑ Bugaenko G. A., Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Grunderna i klassisk mekanik. - M., Higher School, 1999. - ISBN 5-06-003587-5 . - Med. 218