Schwartz symmetriprincip

Formulering

Symmetriprincipen tillämpas huvudsakligen på den analytiska fortsättningen av funktioner som är analytiska på någon uppsättning , låt dessutom mängden vara icke- tom, och på denna uppsättning tar funktionen uteslutande verkliga värden. $\Omega \subset \mathbb {C} .$ $D=\partial \Omega \cap \mathbb {R}$

Sedan är det möjligt att utföra den analytiska fortsättningen av funktionen från uppsättningen till en större uppsättning , där , med hjälp av följande funktion: $f$ $\Omega$ $\Omega \cup {\overline {\Omega ))$ ${\overline {\Omega }}=\{z:{\overline {z}}\in \Omega \}$

F(z)=f(z)

på

z\in \Omega

F(z)={\overline {f({\overline {z))))))

på

z\in {\overline {\Omega ))

Med hjälp av gränsmatchningsprincipen kan man bevisa ett mer generellt påstående, som vanligtvis förekommer i den specialiserade litteraturen under samma namn.

Generalisering

Låt oss anta att domänerna ges , vidare, bågar av generaliserade cirklar. Beteckna med en region som är symmetrisk med avseende på , och definieras på liknande sätt . Nu, om den mappar konformt till , dessutom , då kan den analytiskt utökas till en konform mappning till . $\Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {C}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\subset \partial \Omega _{1},\gamma _{2}\subset \partial \Omega _{2))$ $\Omega _{1}^{*}$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\gamma _{1}$ $\Omega _{2}^{*}$ $f$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle f(\gamma _{1})=\gamma _{2))$ $f$ $\Omega _{1}\cup \gamma _{1}\cup \Omega _{1}^{*}$ $\Omega _{2}\cup \gamma _{2}\cup \Omega _{2}^{*}$

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka . - 1969, 577 sidor.