Hilbert program

Hilberts program i matematik formulerades av den tyske matematikern David Hilbert i början av 1900-talet. Hilbert föreslog att konsekvensen av mer komplexa system, såsom teorin om funktioner för en verklig variabel , kunde bevisas i form av enklare system. I slutändan, enligt hans förslag, kan konsistensen av all matematik reduceras till enkel aritmetik .

Gödels ofullständighetsteorem visade att Hilberts program inte gällde de flesta områden inom matematiken.

De viktigaste uttalandena i Hilberts program

Huvudmålet med Hilberts program var att ge en solid grund för all matematik. I synnerhet bör detta inkludera:

• Formuleringen av all matematik ; med andra ord måste alla matematiska påståenden vara skrivna på ett exakt formellt språk och hanteras enligt väl definierade regler.
• Fullständighet : Ett bevis på att alla sanna matematiska påståenden formellt kan bevisas.
• Konsistens : Ett bevis på att ingen motsägelse kan erhållas i matematikens formalism. Detta konsistensbevis bör helst endast använda "ändliga" resonemang om ändliga matematiska objekt.
• Konservering : bevisa att alla resultat om "riktiga objekt" som erhålls med hjälp av resonemang om "ideala objekt" (som otaliga mängder) kan bevisas utan att använda ideala objekt.
• Algoritmisk avgörbarhet : Det finns en algoritm för att bestämma sanningen eller falskheten i ett matematiskt påstående.

Se även

• Godels ofullständighetsteorem
• Peano aritmetik
• David Gilbert
• Tarskis algoritm

Litteratur

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493-565. Översatt som "The consistency of aritmetic", i The collected papers of Gerhard Gentzen , ME Szabo (red.), 1969.
• D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104:485-94. Översatt av W. Ewald som 'The Grounding of Elementary Number Theory', s. 266-273 i Mancosu (red., 1998) Från Brouwer till Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s , Oxford University Press. new york.
• S.G. Simpson, 1988. Delvis realisering av Hilberts program . Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
• R. Zach , 2006. Hilberts program då och nu. Philosophy of Logic 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].