Lagrangederivat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Lagrangederivatan , även känd som substantivderivatan eller materialderivatan , är en derivata som tas som en funktion av ett koordinatsystem som rör sig med en hastighet u och används ofta inom strömningsmekanik och klassisk mekanik . Det definieras både från en skalär funktion av koordinater och tid, och från en vektor en : $\phi ({\vec {r)),t)$ ${\vec {v}}({\vec {r}}),t)$

{\frac {D\phi }{Dt))={\frac {\partial \phi }{\partial t))+({\mathbf {u))\cdot \nabla )\phi

{\frac {D{\mathbf {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\mathbf {v}}}{\partial t}}+({\mathbf {u}}\cdot \ nabla ){\mathbf {v}}

där är nabla-operatorn och betecknar den partiella derivatan med avseende på t. Den andra termen är den konvektiva derivatan av denna funktion. $\nabla$ ${\frac {\partial }{\partial t))$

Följande identitet är sann när Lagrange-derivatan av integralen tas :

{\frac {D}{Dt}}\int \limits _{{V(t)}}f({\mathbf {x}})\,dV=\int \limits _{{V(t))) ) \left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla \cdot (f{\mathbf {u}})\right)\,dV=\int \limits _{{V(t ) }}\left({\frac {Df}{Dt}}+f(\nabla \cdot {\mathbf {u}})\right)\,dV

Bevis

Bevis genom regeln om differentiering av komplexa funktioner för partiella derivator. I tensornotation (med Einsteins summationskonvention) kan man skriva:

\left[{\frac {d{\mathbf {B}}}{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t ,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+{\frac {\partial B_{j)){\partial x_{i))}{\ frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t} }{\frac {\partial }{\partial x_{i))}B_{j}={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+\left[({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {B}}\right]_{j}

Se även

Konvektiv derivata