Baer kategori

Baer-kategorin är ett sätt att skilja mellan "stora" och "små" uppsättningar. En delmängd av ett topologiskt utrymme kan vara av den första eller andra Baire-kategorin.

Uppkallad efter den franske matematikern René-Louis Baer .

Definitioner

Topologiska utrymmen som tillåter en räknebar täckning av ingenstans täta delmängder tillhör utrymmena i den första Baer-kategorin , de som inte tillåter en sådan täckning tillhör utrymmena i den andra Baer-kategorin.
En delmängd av ett topologiskt utrymme som kan representeras som en räknebar förening av mängder som inte är täta kallas en mängd av den första Baire-kategorin i utrymmet . $X$ $X$ $X$
En uppsättning som inte kan representeras i denna form kallas en uppsättning av den andra Baer-kategorin i rymden . $X$
Ett topologiskt utrymme där någon uppsättning av den första kategorin inte innehåller några inre punkter kallas ett Baer-utrymme .

Egenskaper

För analysändamål är det lämpligt när utrymmet i fråga tillhör den andra Baer-kategorin, eftersom tilldelningen av denna kategori är liktydig med giltigheten av existenssatser , såsom:

Om ett utrymme i den andra Baer-kategorin täcks av en räknebar familj av slutna mängder, så har åtminstone en av dem en inre punkt ( existenssatsen för en inre punkt ).
I ett utrymme i den andra Baer-kategorin har varje räkningsbar familj av öppna överallt täta mängder en icke-tom skärningspunkt ( existenssatsen för en gemensam punkt ).

Om utrymmet ändå tillhör den första Baer-kategorin, kan endast negativa resultat erhållas från detta - till exempel är varje måttenhet på detta utrymme som är kompatibel med topologin ofullständig, och stängningen av alla (icke-tom) öppna delmängd är icke-kompakt . Av denna anledning, till exempel, är rymden av polynom ofullständig i någon metrik där det är ett topologiskt vektorrum (ett räknat -dimensionellt vektorrum i vilken vektortopologi som helst tillhör den första Baer-kategorin).

Tillämpningen av Baire-kategorier på delmängder av ett givet topologiskt utrymme är meningsfullt om det omgivande utrymmet tillhör den andra Baire-kategorin (annars kommer alla delmängder att vara den första kategorin i det givna utrymmet). Grovt sett anses uppsättningar av den första kategorin "små" ("mager"), och den andra - "stora" ("fett").

I denna mening liknar begreppet en kategori begreppet ett mått , men till skillnad från ett mått beror kategorin för en delmängd endast på topologin i det omslutande utrymmet.

Detta gör det bekvämt att använda den i utrymmen utan ett naturligt definierat mått. Till exempel, med hjälp av kategorin, kan man ge en exakt innebörd till sådana begrepp som "nästan alla kompakta konvexa delmängder av det euklidiska rummet ".

Baers sats

Sats. Kompletta metriska utrymmen och lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen tillhör Baires andra kategori.

För att bevisa det räcker det att visa att varje räknebar familj av öppna överallt täta uppsättningar har en icke-tom korsning. $G_{k}\;(k=1,\;2,\;\ldots )$

I fallet med ett komplett metriskt utrymme, är en sekvens av kulor konstruerad induktivt så att för varje och kulans radie skulle vara mindre än . Sekvensen av sammandragande slutna bollar har en icke-tom skärningspunkt på grund av att utrymmet är fullständigt, och den gemensamma punkten för dessa bollar kommer att vara gemensam för seten . $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ $2^{-k}$ $G_{k}$

I fallet med ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme, konstruerar vi induktivt en sekvens av öppna uppsättningar så att för varje och stängningen av uppsättningen är kompakt. Sedan bildar sekvensen av mängder ett centrerat system av slutna delmängder i ett kompakt Hausdorff-utrymme och har därför en icke-tom skärningspunkt. $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ ${\bar {B}}_{k}$ ${\bar {B}}_{1}$

Exempel. Som en tillämpning av Baers kategorier kan det visas att mängden irrationella punkter inte kan vara mängden av alla diskontinuitetspunkter för någon funktion på den reella linjen. Mängden av alla diskontinuitetspunkter för någon funktion på är en räknebar förening av slutna mängder som består av de punkter där funktionens oscillation inte är mindre än . Om den önskade funktionen fanns, skulle uppsättningarna inte vara täta, eftersom deras förening inte har några inre punkter. Detta skulle innebära att uppsättningen av den första kategorin är i , och eftersom dess komplement också har den första kategorin, så skulle hela utrymmet vara av den första kategorin, vilket motsäger dess fullständighet. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $f$ $\mathbb {R}$ $E_{n}$ $f$ $1/n$ $E_{n}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Se även

G-delta set

Länkar

Okstoby J. Mått och kategori. - Översätt. från engelska. — M.: Mir, 1974. — 157 sid.