Tillståndsrum (kontrollteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; kontroller kräver 10 redigeringar .

Tillståndsrummet är en av de viktigaste metoderna för att beskriva beteendet hos ett dynamiskt system inom kontrollteorin . Systemets rörelse i tillståndsrummet speglar förändringen i dess tillstånd .

Definition

Tillståndsrummet kallas vanligtvis fasrummet för ett dynamiskt system , och rörelsebanan för den representerande punkten i detta utrymme kallas fasbanan . [B:1] [B:2] [A:1]

I tillståndsutrymmet skapas en modell av ett dynamiskt system , inklusive en uppsättning indata-, utdata- och tillståndsvariabler , sammankopplade med differentialekvationer av första ordningen, som är skrivna i matrisform . Till skillnad från beskrivning av överföringsfunktioner och andra frekvensdomänmetoder, låter tillståndsutrymmet dig arbeta inte bara med linjära system och noll initiala villkor. Dessutom är det relativt enkelt att arbeta med MIMO-system i statens utrymme .

Linjära kontinuerliga system

För fallet med ett linjärt system med ingångar, utgångar och tillståndsvariabler är beskrivningen: $sid$ $q$ $n$

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

var

x(t) \in \mathbb{R}^n

; ; ;

y(t) \in \mathbb{R}^q

u(t) \in \mathbb{R}^p

\operatörsnamn{dim}[A(\cdot)] = n \ gånger n

, , , , :

\operatörsnamn{dim}[B(\cdot)] = n \ gånger sid

\operatörsnamn{dim}[C(\cdot)] = q \ gånger n

\operatörsnamn{dim}[D(\cdot)] = q \ gånger sid

\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}

x(\cdot)

är tillståndsvektorn , vars element kallas systemtillstånd

y(\cdot)

är utgångsvektorn ,

u(\cdot)

är kontrollvektorn ,

A(\cdot)

är systemmatrisen ,

B(\cdot)

är kontrollmatrisen ,

C(\cdot)

är utmatrisen,

D(\cdot)

är feedforward-matrisen .

Ofta är matrisen noll, vilket betyder att det inte finns någon explicit feedforward i systemet . $D(\cdot)$

Diskreta system

För diskreta system baseras registreringen av ekvationer i rymden inte på differentialekvationer utan på skillnadsekvationer :

\mathbf{x}(nT + T) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)

\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)

Icke-linjära system

Ett icke-linjärt dynamiskt system av n:e ordningen kan beskrivas som ett system av n ekvationer av 1:a ordningen:

\dot x_1=f_1(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

\vdots

\dot x_n=f_n(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

eller i en mer kompakt form:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

Den första ekvationen är tillståndsekvationen , den andra är utgångsekvationen .

Linjärisering

I vissa fall är det möjligt att linjärisera beskrivningen av det dynamiska systemet för driftpunktens närhet . I stationärt tillstånd är följande uttryck giltigt för driftspunkten : $(\mathbf{\tilde x}, \mathbf{\tilde u})$ $(\mathbf{\tilde u}= konst)$ $\mathbf{\tilde x}= konst,$

\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x},\mathbf{\tilde u})=\mathbf{0}

Introduktion av notationen:

\delta\mathbf{u} = \mathbf{u}-\mathbf{\tilde u}

\delta\mathbf{x} = \mathbf{x}-\mathbf{\tilde x}

Expansionen av tillståndsekvationen i en Taylor-serie , begränsad av de två första termerna, ger följande uttryck: $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$

\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\approx \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x}(t),\mathbf{\tilde u} (t)) + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} \delta \mathbf{x} + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{ u}} \delta \mathbf{u}

När man tar partiella derivator av vektorfunktionen med avseende på vektorn för tillståndsvariabler och vektorn för ingångsåtgärder , erhålls de jakobiska matriserna för motsvarande funktionssystem : ${\mathbf {f}}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {u}$

{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatrix}}

På samma sätt för utgångsfunktionen:

{\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{n)) }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatrix}}

Med hänsyn till kommer den linjäriserade beskrivningen av det dynamiska systemet i närheten av driftspunkten att ha formen: $\delta \mathbf{\dot x}=\mathbf{\dot x}-\mathbf{\dot \tilde x}=\mathbf{\dot x}$

$\mathbf{\dot x}$	$=\mathbf{A}\delta \mathbf{x}+\mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
$\delta \mathbf{y}$	$=\mathbf{C}\delta \mathbf{x}+\mathbf{D} \delta \mathbf{u}$

var

\mathbf{A}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{B}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf {u}}\quad \mathbf{C}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{D}=\frac{\delta \mathbf{h} }{\delta \mathbf{u}}

Exempel

Tillståndsrymdmodellen för pendeln

Pendeln är ett klassiskt fritt icke-linjärt system . Matematiskt beskrivs pendelns rörelse av följande förhållande:

ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)

var

$\theta (t)$ är pendelns avböjningsvinkel.
$m$ är pendelns reducerade massa
$g$ - tyngdacceleration
$k$ — Friktionskoefficient i fjädringslagret _
$l$ - längd på pendelupphängning

I det här fallet kommer ekvationerna i tillståndsutrymmet att se ut så här:

\dot{x_1}(t) = x_2(t)

\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)

var

$x_{1}(t):=\theta (t)$ - pendelns avböjningsvinkel
$x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$ är pendelns vinkelhastighet
$\dot{x_2}(t) :=\ddot{x_1}(t)$ är pendelns vinkelacceleration

Att skriva tillståndsekvationer i allmän form:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf {f}(t, x(t)) = \left( \begin{matris} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{ m}{x_2}(t) \end{matris} \right)

Linearisering av pendelmodellen

Den linjäriserade systemmatrisen för pendelmodellen i närheten av jämviktspunkten har formen: $\left(\tilde x_1=0 \right)$

\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}\cos{\tilde x_1} &\ - \frac{k}{m} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}&\ - \frac{k} {m} \end{matris} \right)

I frånvaro av friktion i upphängningen ( k = 0 ) får vi rörelseekvationen för en matematisk pendel :

\ddot x = -\frac{g}{l}x

Se även

Kontrollteori
fasutrymme
Stabilitetskriterium i statens utrymme
Konceptutrymme
referenssystem
modal kontroll

Litteratur

Böcker

↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teorin om bifurkationer av dynamiska system på ett plan. - M . : Nauka, 1967.
↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2:a uppl., reviderad. och korrigerad - M . : Nauka, 1981. - 918 sid.

Artiklar

↑ Feigin M.I. Manifestation av bifurkationsminneseffekter i beteendet hos ett dynamiskt system // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , nr 3 . - S. 121-127 . Arkiverad från originalet den 30 november 2007. (ryska)

Länkar

Initiala differentialekvationer för ACS