Ramanujan Primes

Ramanujans primtal är en underföljd av primtal associerade med Ramanujans sats , som förfinar Bertrands postulat om fördelningsfunktionen för primtal .

Historik

1845 antog Bertrand det

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1

för alla , var är fördelningsfunktionen för primtal lika med antalet primtal som inte överstiger . Denna hypotes bevisades av Chebyshev 1850. År 1919 bevisade Ramanujan, som noterade Chebyshevs prioritet, i en tvåsidig artikel en starkare sats, som definierar sekvensen av Ramanujans primtal: [1] $x\geqslant 2$ $\pi(x)$ $x$

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1,2,3,4,5,\ldots

för alla respektive (sekvens A104272 i OEIS ). $x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots$

Definition

Ett Ramanujan-primtal är det minsta heltal som gäller för någon $R_n$ ${\displaystyle x\geqslant R_{n))$

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n.

Enligt Ramanujans sats är denna skillnad inte mindre för alla och tenderar till oändlighet. ${\displaystyle x\geqslant R_{n))$ $n$

Det bör noteras att det nödvändigtvis är ett primtal: , och därför måste öka, vilket endast är möjligt om primtal. $R_n$ $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)$ $\pi (x),$ $R_n$