Direkt och invers gränssats

De viktigaste ur synvinkeln av tillämpningar av karakteristiska funktioner till härledning av asymptotiska formler för sannolikhetsteori är två gränssatser - direkt och invers. Dessa satser slår fast att den överensstämmelse som finns mellan fördelningsfunktioner och karakteristiska funktioner inte bara är en-till-en, utan också kontinuerlig.

Direkt och invers gränssats

Direkt gränssats

Om sekvensen av fördelningsfunktioner svagt konvergerar till fördelningsfunktionen för , då konvergerar sekvensen av motsvarande karaktäristiska funktioner punktvis till den karakteristiska funktionen . $F_{n}$ $F$ $n\högerpil\infty$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f$

Med andra ord

Om , då vid varje punkt .

F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)

f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)

t

Invers gränssats

Låt en sekvens av karakteristiska funktioner konvergera punktvis till en funktion som är kontinuerlig i punkt 0. Då konvergerar sekvensen av motsvarande fördelningsfunktioner svagt till funktionen och är den karakteristiska funktionen som motsvarar fördelningsfunktionen . ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f$ $F_{n}$ $F$ $f$ $F$

Bevis för direktgränssatsen

Beviset för denna sats följer direkt av den andra Helly-satsen och definitionen av den karakteristiska funktionen:

Som en funktion tar vi , och tittar på och som parametrar. $g$ $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ $i$ $t$

Notera

Den punktvisa konvergensen av sekvensen av karakteristiska funktioner i denna sats kan ersättas av enhetlig konvergens på någon kompakt uppsättning från . $R$

Bevis för den omvända gränssatsen

Låta vara en sekvens av fördelningsfunktioner som motsvarar sekvensen av karakteristiska funktioner . Det följer av Hellys första teorem att det finns en svagt konvergent undersekvens $F_{n}$ $f_{{n}}$

\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},

Så att

F_{n_{k}}\Rightarrow F_{n}

Låt oss bevisa att det är en fördelningsfunktion. För detta räcker det att visa det $F$ $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

För att bevisa det behöver vi följande olikhet: låt en godtycklig slumpvariabel vara dess karakteristiska funktion, sedan för alla och $\xi$ $f$ $\tau >0$ $x>0$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}

Låt , då tar ojämlikheten formen $\tau x=2$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{ \frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1

Låt oss bevisa ojämlikheten . Av definitionen av den karakteristiska funktionen och Fubinis sats följer det $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau}f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi}dt\right|=\left|{\frac {1} {2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\ tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=

=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left \{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \ xi )){\xi ))\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\))\leq {\mathsf {M))\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left| {\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left( \left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right) \höger)

Eftersom funktionen är kontinuerlig i en punkt och är en punktvis gräns för de karakteristiska funktionerna , så finns det för alla sådana att för alla uppfyller olikheten $f$ $0$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f\left(0\right)=1$ $\varepsilon >0$ $\tau _{0}>0$ $\tau$ $0<\tau \leq \tau _{0},$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau}f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}

Av det som följer för alla och för $f_{n}\högerpil f$ $n\högerpil\infty$ $n>n_{0}$ $\tau \in (0;\tau _{0}],$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}

Det följer av ojämlikheterna och det för någon och sådan att $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau}f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $n>n_{0}$ $\tau$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}

Från ojämlikheterna och vi har $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$

F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }} -0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k))\right|\leq {\frac {\tau }{2))\right)\geq 2\left(1- {\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon

för alla och . Från den sista ojämlikheten, på grund av godtycke , får vi $n>n_{0}$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$ $\tau$ $\varepsilon$

F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1

det vill säga distributionsfunktionen. Genom direkt gränssatsen följer det av vad som har bevisats $F$

f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R}

Men enligt satsen

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}

Följaktligen

f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)

är den karakteristiska funktionen som motsvarar fördelningsfunktionen

F

Låt oss nu bevisa det

F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F

Anta motsatsen , låt

F_{n}\nHögerpil F

kl . Sedan finns , och och är distributionsfunktioner

n\högerpil\infty

\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^ {*}\neq F

F

F^{*}

Genom den direkta gränssatsen har vi

f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\ vänster(t\höger),k\högerpil \infty

och genom unikhetssatsen , men detta kan inte vara, eftersom $f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)$

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)

Följaktligen

f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)

Teoremet har bevisats.

Litteratur

Lazakovich N.V., Stashulenok S.P., Yablonsky O.L. Sannolikhetskurs. - 2003. - 322 sid.
Sevastyanov B.A. Kurs i sannolikhetsteori och matematisk statistik. - 1982. - 244 sid.

Direkt och invers gränssats