Lika linjer

Lika linjer är en familj av linjer i det euklidiska rymden så att vinkeln mellan två linjer från denna mängd är densamma.

Att beräkna det maximala antalet ekvikantiga linjer i det n - dimensionella euklidiska rummet är ett svårt problem och generellt olöst, även om gränserna är kända. Det maximala antalet ekvikantiga linjer i tvådimensionellt utrymme är 3 - du kan rita linjer genom motsatta hörn av en vanlig hexagon, då kommer varje linje att skära de andra två i en vinkel på 120 grader. Det maximala antalet i tredimensionellt utrymme är 6 - du kan rita linjer genom de motsatta hörnen av ikosaedern . Det maximala antalet i dimensionerna 1 till 18 är listat i Encyclopedia of Integer Sequences :

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, 48, 48, ...

I synnerhet är det maximala antalet ekvikantiga linjer i ett utrymme med dimension 7 28. Du kan få dessa linjer enligt följande: ta vektorn (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) i och bildar alla 28 vektorer genom att permutera vektorelement. Prickprodukten av två av dessa linjer är 8 om det finns två 3:or i samma position, och -8 annars. Således är linjerna på vilka dessa vektorer ligger likvinklade. Alla 28 vektorer är dock ortogonala mot vektorn (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) i , så de ligger alla i ett 7-dimensionellt delrum. Faktum är att dessa 28 vektorer (och vektorer som är negativa till dem), upp till rotationer, är 56 hörn av 3 21 polytopen . Med andra ord är de viktvektorer av den 56-dimensionella representationen av Lie- gruppen E7 .

Likvida linjer motsvarar två grafer . Låt en uppsättning ekvikantiga linjer ges och c lika med cosinus för den gemensamma vinkeln. Vi antar att vinkeln inte är 90° eftersom detta är ett trivialt fall (inte intressant eftersom linjer bara är koordinataxlar). Då är c ​​inte lika med noll. Vi kan flytta linjerna så att de passerar genom origo. Vi väljer en enhetsvektor på varje linje. Vi bildar en matris M av skalära produkter . Denna matris har 1 på diagonalen och ± c på andra ställen, och är också symmetrisk. Om vi ​​subtraherar identitetsmatrisen E och dividerar med c , får vi en symmetrisk matris med noll diagonal och ± 1 av diagonalen. Och detta är Seidel närliggande matris av en två-graf. Omvänt kan vilken två-graf som helst representeras som en uppsättning ekvikantiga linjer [1] .

Anteckningar

  1. ↑ van Lint, Seidel, 1966 .

Litteratur