Schwarz stövel

Schwarz stövel (från tyska Schwarzscher Stiefel ) är en familj av approximationer av en cirkulär cylinder som använder polyedriska ytor.

Det begränsande området för dessa approximationer kan göras godtyckligt stort. Denna konstruktion gör det möjligt att se inkonsekvensen i att definiera ytarean som den minsta övre gränsen för områdena av polyedriska ytor som är inskrivna i den, i motsats till det faktum att längden på en kurva kan definieras som den minsta övre gränsen för längder av polyedriska ytor inskrivna i den.

Historik

Konstruktionen föreslogs 1890 av Hermann Schwartz som ett motexempel till den felaktiga definitionen av ytarea i en bok av Joseph Serret [1] . Oavsett Schwartz hittades samma exempel av Giuseppe Peano . Hans lärare Angelo Genocchi diskuterade också denna fråga med Schwartz. Genocchi informerade Charles Hermite , som använde Serrets felaktiga definition i sin kurs. Hermite reviderade sedan sin kurs och publicerade Schwartz anteckning i den andra upplagan av hans föreläsningar. [2]

Konstruktion

Cylinderns höjd delas av plan parallella med baserna i lika delar. Regelbundna -goner passar in i de bildade sektionerna (cirklarna) , och närliggande -goner roteras i förhållande till varandra i en vinkel så att hörnen på den överliggande -gonen är ovanför mittpunkterna på sidorna av den underliggande -gonen. Då sammankopplas -gonernas hörn så att en yta av trianglar bildas; vart och ett av dess "lager" är ett antiprisma . Den resulterande polyedriska ytan kallas Schwartz-kängan . $n$ $k$ $k$ $\pi /k$ $k$ $k$ $k$ $2nk$

Om , då dimensionerna på dessa trianglar blir godtyckligt små, det vill säga Schwartz-stöveln tenderar till cylindern. $n,k\till \infty$

Egenskaper

En enkel beräkning visar det
- när arean, det vill säga summan av ytorna av alla triangulära ytor på Schwartz-kängan, tenderar till oändlighet. $k,n/k^{2}\to \infty$
- vid området för Schwarz stövel tenderar till området för en cirkulär cylinder. $n,k^{2}/n\to \infty$
Med avseende på dess inneboende metrik är Schwarz stövel isometrisk till någon cirkulär cylinder.

Anteckningar

↑ JA Serret, Cours de calcul differentiel et integral (sida 296 i första upplagan och sida 298 i andra)
↑ Schwarz, HA, "Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe", Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309-311

Litteratur

Dubrovsky, V.N., På jakt efter att bestämma ytan , Kvant . - 1978. - Nr 5. - S. 31-34.
Fikhtengol'ts, G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - M .: Mir , 1969. - T. 3.(§ 623).