Det summafria setet

En summafri mängd - en mängd som inte inkluderar summorna av dess element, används i additiv kombinatorik och additiv talteori . Formellt är en delmängd av en Abelisk grupp summafri om dess summamängd inte skär med . Med andra ord, är summafri om ekvationen inte har någon lösning för . $A$ $G$ $A+A$ $A$ $A$ $a+b=c$ $a,b,c\in A$

Till exempel är mängden udda tal en summafri delmängd av heltal, och mängden bildar en summafri delmängd av mängden (för jämna ). $\{N/2+1,\dots ,N\}$ $\{1,\dots ,N\}$ $N$

Fermats sista teorem säger att mängden icke- nollpotenser är en heltalsfri delmängd av heltal för . $n$ $n > 2$

Några frågor om summafria set:

Hur många summafria delmängder av mängden finns det för en given ? Ben Green [1] och Alexander Sapozhenko [2] har visat att svaret är , som föreslås i Cameron-Erdős gissning [3] [4] . $\{1,\dots ,N\}$ $N$ $O(2^{{N/2}})$
Hur många summafria delmängder innehåller en Abelisk grupp ? [5] $G$
Vad är storleken på den största summafria delmängden som finns i en abelsk grupp ? [5] $G$

En summafri mängd kallas maximal om det inte finns någon större summafri mängd som innehåller den.

Länkar

↑ Ben Green, The Cameron-Erdős förmodan , Bulletin of the London Mathematical Society 36 (2004) s.769-778
↑ Sapozhenko, Alexander Antonovich ( 2003 ), The Cameron-Erdős gissning, Reports of the Academy of Sciences , Vol. 393 (6): 749–752
↑ PJ Cameron och P. Erdős, Om antalet uppsättningar av heltal med olika egenskaper , Talteori (Banff, 1988), de Gruyter, Berlin 1990, s.61-79
↑ Se även A007865
↑ 1 2 Ben Green och Imre Ruzsa, Summafria uppsättningar i abelska grupper , 2005.