Slät oktagon

En tillplattad oktagon är en region av planet , som förmodligen har den minsta högsta planpackningsdensiteten av alla centralt symmetriska konvexa figurer [1] . Figuren erhålls genom att ersätta vinklarna på en vanlig oktagon med en sektion av en hyperbel , som tangerar två sidor av vinkeln och asymptotiskt närmar sig förlängningarna av sidorna av oktagonen som gränsar till vinkelns sidor.

Maximal packning Density

Den utjämnade oktagonen har maximal packningstäthet

{\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0,902414\,.

[2]

Denna densitet är mindre än den maximala packningsdensiteten för cirklar , vilket är lika med

{\frac {\pi }{\sqrt {12))}\approx 0,906899.

Den maximala packningsdensiteten för vanliga vanliga oktagoner är

{\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0,906163,

vilket också är något mindre än den maximala packningsdensiteten för cirklar, men mer än packningsdensiteten för en utjämnad oktagon [3] .

Den utjämnade oktagonen uppnår maximal packningstäthet inte bara för en enda packning, utan för en enparameters familj av packningar. Alla av dem är gallerpackningar [ 4] .

För ett tredimensionellt utrymme anger Ulam-packningsförmodan att det inte finns någon konvex figur med den högsta packningsdensiteten mindre än packningen av bollar.

Byggnad

När man överväger familjer av maximalt täta packningar av en utjämnad oktagon, kan kravet att packningsdensiteten förblir densamma när kontaktpunkterna för närliggande oktagoner ändras användas för att bestämma formen på hörnen. I figuren roterar de tre oktagonerna medan arean av triangeln som bildas av mitten av dessa oktagoner inte förändras. För vanliga oktagoner överlappar kantfragmenten, så för att kunna rotera måste hörnen skäras av vid en punkt halvvägs mellan oktagonernas mittpunkter, vilket resulterar i en kurva som visar sig vara en hyperbel.

En hyperbel är konstruerad som en tangent till två sidor av en oktagon, för vilka linjerna som innehåller sidorna intill dem är dess asymptoter. Låt oss placera en regelbunden oktagon med radien av den omskrivna cirkeln på planet så att dess centrum är vid punkten och en vertex är vid punkten . Låt oss definiera två konstanter, ℓ och m : ${\sqrt {2}}$ $(2+{\sqrt {2)),0)$ $(2.0)$

\ell ={\sqrt {2}}-1

{\displaystyle m={\sqrt[{4}]{\frac {1}{2))))

Då ges hyperbeln av ekvationen

{\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2))

eller, i motsvarande parametriserad form (endast för höger sida av hyperbeln):

{\begin{cases}x={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y=m\sinh {t}\end{cases)),\;-\infty < t<\infty

Den del av hyperbeln som bildar oktagonens hörn ges av parameterns värden

-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}

Linjerna på oktagonens sidor som tangerar hyperbeln ges av ekvationerna

y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)

Och de raka linjerna på sidorna, som är asymptoter för hyperbeln, ges av ekvationerna

y=\pm \ell x.

Se även

Packningscirklar
Ulams packningsförmodan

Anteckningar

↑ Reinhardt, 1934 , sid. 216-230.
↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Atkinson, Jiao, Torquato, 2012 .
↑ Kallus, 2013 .

Litteratur

K. Reinhardt. Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven // Abh. Matematik. Sem. Hamburg. - 1934. - Utgåva. 10 . - S. 216-230 .
Steven Atkinson, Yang Jiao, Salvatore Torquato. Maximalt täta packningar av tvådimensionella konvexa och konkava icke-cirkulära partiklar // Phys. Varv. E. - 2012. - T. 86 , nr. 03 . Arkiverad från originalet den 24 augusti 2014.
Yoav Kallus. Minst effektiva packningsformer // Geometri och topologi. - 2013. - Maj.

Länkar

Den tunnaste täta tvådimensionella packningen? . Peter Scholl, 2001.