Packningscirklar

Artikeln beskriver packningen av cirklar på ytor. För en relaterad artikel om cirkelpackning med en given skärningsgraf , se artikeln " Cirkelpackningssats ".

Inom geometri är cirkelpackning studiet av att placera cirklar (av samma storlek eller olika storlekar) på en given yta på ett sådant sätt att de inte skär varandra och cirklarna nuddar varandra. Den motsvarande packningsdensiteten η för arrangemanget är den del av arean som upptas av cirklarna. Det är möjligt att generalisera cirkelpackningar till högre dimensioner - detta kallas kulpackning , som vanligtvis fungerar med samma sfärer.

Även om cirklar har en relativt låg maximal packningsdensitet på 0,9069 i det euklidiska planet , är denna densitet inte minimal. Den "sämsta" planpackningssiffran är inte känd, även om en utjämnad oktagon har en packningsdensitet på cirka 0,902414, vilket är den minsta maximala packningsdensiteten som är känd för centralt symmetriska konvexa figurer [1] . Packningsdensiteten för konkava former, såsom stjärnpolygoner , kan vara godtyckligt låg.

Den gren av matematiken som kallas "packning av cirklar" handlar om geometrin och kombinatoriken för packningar av cirklar av godtycklig storlek, och från denna stiger diskreta analoger av konforma avbildningar , Riemann-ytor och liknande.

Platt packning

För ett tvådimensionellt euklidiskt utrymme bevisade Joseph Louis Lagrange 1773 att gitterpackningen med högsta täthet av cirklar är en hexagonal packning [2] där cirklarnas mittpunkter är belägna på ett hexagonalt gitter (sicksackrader som bikakor ), och varje cirkel är omgiven av sex andra cirklar. Densiteten för sådan packning är lika med

Axel Thue gav det första beviset på att denna packning är optimal 1890, vilket visar att det hexagonala gittret är det tätaste av alla möjliga cirkelpackningar, både regelbundna och oregelbundna. Detta bevis ansågs dock vara ofullständigt. Det första fullständiga beviset tillskrivs Laszlo Fejes Toth (1940) [2] .

Å andra sidan har stela packningar av cirklar med låg densitet hittats.

Homogena förpackningar

Det finns 11 cirkelpackningar baserade på 11 enhetliga plana tesselleringar [3] . I dessa paket kan vilken cirkel som helst mappas till vilken annan cirkel som helst genom reflektion eller rotation. Hexagonala luckor kan fyllas med en cirkel, och dodecagonala luckor kan fyllas med 7 cirklar, vilket bildar 3 enhetliga packningar. En trunkerad trihexagonal plattsättning med båda typerna av luckor kan fyllas som en 4-homogen packning. Den snubbade trihexagonala plattan har två spegelformer.

1-homogena packningar baserade på enhetliga plattsättningar

triangulär
Fyrkant
Hexagonal
Långsträckt triangulär

Trehexagonal
Snub kvadrat
Stympad kvadrat
Trunkerad sexkantig

Rhombotrihexagonal
Snub sexkantig
Snub hexagonal (spegel)
Trunkerad trihexagonal

Packning på en sfär

Ett relaterat problem är att bestämma minimienergiläget för punkter med lika mellanrum som måste ligga på en given yta. Thomson-problemet betraktar fördelningen av elektriska laddningar med lägst energi på ytan av en sfär. Tammes-problemet är en generalisering av detta problem och maximerar det minsta avståndet mellan cirklar på en sfär.

Packning i begränsade områden

Att packa cirklar i enkla avgränsade former är en vanlig typ av rekreationsmatematikproblem . Effekten av behållarväggar är viktig, och sexkantig packning är i allmänhet inte optimal för ett litet antal cirklar.

Ojämlika cirklar

Det finns också ett antal problem som gör att storleken på cirklarna inte är enhetliga. En sådan förlängning är problemet med att hitta den maximala densiteten för ett system med två cirkelstorlekar ( binärt system). Endast nio bestämda förhållanden av radier tillåter en kompakt packning där om två cirklar berör varandra, berör de ytterligare två cirklar tillsammans (om du kopplar samman cirklarnas mittpunkter med linjesegment, triangulerar de ytan) [4] . För sju sådana radieförhållanden är kompakta packningar kända på vilka det maximalt möjliga packningsförhållandet (högre än för cirklar med samma diameter) uppnås för en blandning av cirklar med ett givet förhållande av radier. Den högsta packningsdensiteten är 0,911627478 för ett radieförhållande på 0,545151042• [5] [6] .

Det är också känt att om förhållandet mellan radier är högre än 0,742 kan den binära blandningen inte packas bättre än cirklar av samma storlek [5] . De övre gränserna som kan uppnås genom en sådan binär packning för mindre förhållanden av radier erhålls också [7] .

Tillämpningar av omslagscirklar

Kvadraturamplitudmodulering är baserad på packningen av cirklar till cirklar av fasamplitudutrymme. Modemet sänder data som en serie punkter på ett 2-dimensionellt fasamplitudplan. Avståndet mellan punkterna bestämmer känsligheten för överföringsljudet, medan diametern på den yttre cirkeln bestämmer den erforderliga sändareffekten. Prestanda maximeras när signalkonstellationen av kodpunkter är i mitten av de tätt packade cirklarna. I praktiken används ofta rektangulär packning för att förenkla avkodningen.

Att packa cirklar har blivit ett viktigt verktyg i konsten att origami , eftersom varje bit i en origami figur kräver en cirkel på ett papper [8] . Robert Lang använde matematiken kring cirkelpackning för att utveckla datorprogram utformade för att designa komplexa origamiformer.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  2. ↑ 1 2 Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing, arΧiv : 1009.4322 [math.MG]. 
  3. ↑ Williams, 1979 , sid. 35-39.
  4. ↑ 1 2 Kennedy, 2006 , sid. 255–267.
  5. ↑ 1 2 3 Heppes, 2003 , sid. 241–262.
  6. ↑ Kennedy .
  7. ↑ de Laat, de Oliveira Filho, Vallentin .
  8. ↑ Föreläsningar om modern origami " Robert Lang på TED Arkiverad 15 oktober 2011 på Wayback Machine ."

Litteratur