Packning av tetraedrar

Packning av tetraedrar  är uppgiften att ordna identiska vanliga tetraedrar i tredimensionellt utrymme på ett sådant sätt att de fyller så mycket av utrymmet som möjligt.

För närvarande är den bästa packningsdensitetsgränsen , erhållen för optimal packning av vanliga tetraedrar, siffran 85,63% [1] . Tetraedrar lägger inte plattor på utrymmet [2] och, som bekant, är den övre gränsen för fyllningen under 100 % (nämligen 1 − (2,6…)·10 −25 ) [3] .

Historiska resultat

Aristoteles hävdade att tetraedrarna skulle fylla utrymmet helt [4] .

2006 visade Conway och Torquato att en packningsdensitet på cirka 72 % kunde erhållas genom att konstruera ett gitter av tetraedrar som inte är ett Bravais-gitter (med flera delar med olika orientering), och visade att den bästa packningen av tetraedrar inte kan vara en gitterpackning (med ett element per repeterande block och när varje element har samma orientering) [5] . Dessa konstruktioner fördubblar nästan den optimala packningsdensiteten baserat på Bravais-gittret, som erhölls av Hoylman och vars densitet är 36,73 % [6] . 2007 och 2010 visade Chaikin och kollegor att tetraedriska kroppar kan packas slumpmässigt i en ändlig behållare med en packningsdensitet mellan 75 % och 76 % [7] . 2008 var Chen den första som föreslog en packning av vanliga tetraedrar som är tätare än en packning av sfärer, nämligen 77,86 % [8] [9] . Förbättringar gjordes av Torquato och Jiao 2009 genom att komprimera Chens design med en datoralgoritm och få en packningsfraktion på 78,2021 % [10] .

I mitten av 2009 visade Hadji-Akbari et al, med Monte Carlo-metoden för ett initialt slumpmässigt system med en packningstäthet på >50 %, att ett jämviktsflöde av solida tetraedrar spontant omvandlas till en tolvårig kvasikristall som kan komprimeras till 83,24 %. De beskrev också slumpmässig packning med en täthet på över 78 %. För periodisk approximation av kvasikristaller med en cell på 82 tetraedrar erhöll de en packningsdensitet på 85,03% [11] .

I slutet av 2009 upptäcktes en ny, enklare familj av förpackningar med en densitet på 85,47 % av Kallus, Elzer och Gravel [12] . Baserat på dessa paket, efter att ha förbättrat dem något, fick Torquato och Jiao också en densitet på 85,55 % i slutet av 2009 [13] . I början av 2010 fick Chen, Engel och Glotzer en densitet på 85,63 % [1] , och nu är detta resultat den tätaste packningen av vanliga tetraedrar.

Samband med andra förpackningsproblem

Eftersom de tidigare kända gränserna för packningsdensiteten för tetraedrar var mindre än packningsdensiteten för kulor , har det föreslagits att den vanliga tetraedern kan vara ett motexempel till Ulams gissning att den optimala packningsdensiteten för identiska kulor är mindre än packningstätheten för någon annan kropp. Nyare studier har visat att så inte är fallet.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Chen, Engel, Glotzer, 2010 , sid. 253–280.
  2. ↑ Struik, 1925 , sid. 121–134.
  3. ↑ Gravel, Elser, Kallus, 2010 , sid. 799–818.
  4. ↑ Polster, Ross, 2011 .
  5. ↑ Conway, 2006 , sid. 10612–10617.
  6. ↑ Hoylman, 1970 , sid. 135–138.
  7. ↑ Jaoshvili, Esakia, Porrati, Chaikin, 2010 , sid. 185501.
  8. ↑ Chen, 2008 , sid. 214–240.
  9. ↑ Cohn, 2009 , sid. 801–802.
  10. ↑ Torquato, Jiao, 2009 , sid. 876–879.
  11. ↑ Haji-Akbari, Engel, Keys, Zheng et al., 2009 , sid. 773–777.
  12. ↑ Kallus, Elser, Grus, 2010 , sid. 245–252.
  13. ↑ Torquato, Jiao, 2009 .

Litteratur

Länkar

 Förpackningsuppgifter
Packningscirklar
Ballongpackning
Andra paket
Pussel