Separerbart polynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Ett separerbart polynom är ett polynom över ett fält vars alla irreducerbara faktorer inte har flera rötter i fältets algebraiska stängning . $K$ $K$

Det finns också en alternativ definition, nära i huvudsak, men inte likvärdig i det allmänna fallet: ett polynom är separerbart om det inte har gemensamma rötter med sin formella derivata . Detta senare betyder att polynomet självt (och inte bara dess irreducerbara överfaktorer) inte har flera rötter i den algebraiska stängningen. I synnerhet för irreducerbara polynom är båda definitionerna ekvivalenta. $P$ $P'$ $P$ $K$

Irreducerbara polynom över perfekta fält är alltid separerbara - vilket inkluderar i synnerhet alla fält med karakteristisk noll, såväl som alla ändliga fält .

Eftersom ett irreducerbart polynom är (genom Euklids algoritm ) coprime till alla polynom av mindre grad, kan det bara vara oskiljaktigt om dess derivata är noll. Därför är oskiljaktighet ett fenomen som endast visar sig i en positiv egenskap: för ett irreducerbart oskiljaktigt polynom måste representationen ske: $P$

P(X)=Q(X^{p})

där är också ett irreducerbart polynom och är en egenskap för fältet. Baserat på detta är det lätt att konstruera ett exempel på ett icke-separerbart polynom, till exempel är detta ett polynom: $F$ $sid$

P(X)=X^{p}-T

över fältet av rationella funktioner för en variabel över fältet av element . Faktum är att när du går över till en algebraisk förlängning (eller helt enkelt när du går med i ett fält ): $K=\mathbb {F} _{p}(T)$ $T$ $sid$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle T^{1/p))$ $K$

{\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p))

är med andra ord en (unik) rot till mångfald . ${\displaystyle T^{1/p))$ $sid$