Formell differentiering

Formell differentiering är en operation på element i en ring av polynom eller en ring av formell potensserie , som upprepar en derivata från matematisk analys , men inte baserat på begreppet en gräns , som inte kan definieras för en godtycklig ring . Många egenskaper hos derivatan är också sanna för formell differentiering, men vissa, särskilt de som gäller påståenden som involverar tal, är inte sanna. En av de viktiga tillämpningarna av formell differentiering i algebra är att kontrollera mångfalden av polynomens rötter.

Definition

Definitionen av formell differentiering är som följer: fixa en ring (inte nödvändigtvis kommutativ), låt vara en polynomring över . Då är formell differentiering en handling på element , där if $R$ $A=R[x]$ $R$ $A$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

då är den formella derivatan

{\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1))

som i fallet med polynom över reella eller komplexa tal.

Observera att uttrycket inte betyder multiplikation i ringen, utan där det inte används under summatecknet. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

Det bör noteras att för icke-kommutativa ringar möter denna definition följande svårighet: formeln i sig är korrekt, men inte varje polynom kan representeras i standardformen. Användningen av en sådan definition leder till svårigheter att bevisa formeln . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

Alternativa definitioner lämpliga för icke-kommutativa ringar

Låt för att vara sant låt också Definiera derivatan för uttryck av typ och $r\in R$ $r'=0,$ $x'=1.$ $(a+b)'=a'+b',$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Låt oss bevisa att en sådan definition kommer att ge samma resultat för uttrycket, oavsett hur det erhålls, därför är definitionen förenlig med jämlikhetsaxiomen.

$(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
$((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

$((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b 'c)+(ac'+bc')=$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

Linjäritet följer av definitionen.

Formeln för derivatan av ett polynom (i standardformen för kommutativa ringar) är en konsekvens av definitionen: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\summa _{i}(a_{i}x^{i})'=\summa _{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\summa _{i}(0x^{i}+a_{i}(\summa _{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\summa _{i}\summa _{j=1}^{i}a_{i}x^{i -ett}.$

Egenskaper

Man kan bevisa ett antal av följande påståenden.

Formell differentiering är linjär: för alla två polynom och element från $f(x),g(x)$ $r,s$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Om den inte är kommutativ, finns det en annan typ av linjäritetsegenskap där och finns till höger. Om det inte finns något identitetselement i formeln reduceras formeln inte till formen av summan av polynom eller summan av ett polynom och en multipel av ett annat polynom.

R

r

s

R

För formell differentiering är produktregeln uppfylld :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Observera vikten av ordningen på faktorerna i fallet med en icke-kommutativ ring .

R

De två givna egenskaperna gör det till en härledning av en algebra . $D$ $A$

Applikation

Derivaten låter dig bestämma närvaron av flera rötter: om det är ett fält är det en euklidisk ring , för vilken begreppet rotmångfald kan definieras; för ett polynom och ett element därifrån finns ett icke-negativt heltal och ett polynom så att $R$ $R[x]$ $f(x)$ $r$ $R$ $herr}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

var är inte samma sak . Graden visar multipliciteten som en rot . Det följer av produktregeln att det också är antalet tillämpningar av differentieringsoperationen som kan utföras tills den upphör att vara roten till det återstående polynomet. Trots det faktum att inte varje polynom av grad i har rötter, med hänsyn till multipliciteten (detta är bara det maximala antalet), kan du fortsätta att utöka fältet där detta påstående är sant (se algebraisk stängning ). Efter att ha passerat till förlängningen av fältet kan det också finnas flera rötter som inte är rötter över . Till exempel, om är ett fält med tre element, då polynomet $g(r)$ $0$ $herr}$ $r$ $f$ $herr}$ $f(x)$ $r$ $n$ $R[x]$ $n$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

har inga rötter i ; men den formella derivatan är noll, eftersom 3 = 0 i och i någon förlängning av , så när vi går över till den algebraiska stängningen kommer vi att hitta en multipelrot som inte kan hittas i . Därför kan begreppet mångfald, definierat av formell differentiering, effektivt verifieras. Detta visar sig vara särskilt viktigt i Galois teori , vilket gör att man kan skilja mellan separerbara och oskiljbara fältförlängningar. $R$ $R$ $R$ $R$

Analytisk derivatkorrespondens

Om ringen av tal är kommutativ, så finns det en annan likvärdig definition av en formell derivata, som påminner om definitionen från analys. Ett element i ringen är en divisor för alla icke-negativa heltal och är därför en divisor för alla polynom . Låt oss beteckna kvoten (i ) som : $R$ $YX$ $R[X,Y]$ $Y^{n}-X^{n}$ $n$ $f(Y)-f(X)$ $f$ $R[X,Y]$ $g$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

då är det lätt att bevisa att (i ) sammanfaller med den formella definitionen av derivatan som ges ovan. $g(X,X)$ $R[X]$ $f$

En sådan definition av derivatan är lämplig för formella potensserier under antagandet att den skalära ringen är kommutativ.

Anteckningar

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, Du kan förenkla kalkylen, arXiv:0905.3611v1