Hermitisk operatör

Inom matematiken kallas en operator i ett komplext eller verkligt Hilbert-rum hermitiskt , symmetriskt , om det uppfyller likheten för alla från definitionsdomänen . Här och nedan antas det vara den skalära produkten i . Namnet ges för att hedra den franske matematikern Charles Hermite . $A$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$ $(x, y)$ $\mathfrak H$

En operator i kallas self-adjoint , eller hypermaximal Hermitian , om den sammanfaller med dess adjoint . $\mathfrak H$

Den självanslutna operatören är symmetrisk; det omvända är i allmänhet inte sant. För kontinuerliga operatörer definierade i hela utrymmet, sammanfaller begreppen symmetrisk och självanslutande.

Egenskaper

1. Spektrum (uppsättning av egenvärden ) för en självadjoint operator är reell .

Bevis

För varje egenvärde är per definition sant . Därför, enligt definitionen av en självadjoint transformation, är följande uttryck lika: $\lambda$ $A\vänster( x \höger) = \lambda x$

\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)

och

\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

varifrån är ett reellt tal. $\lambda = \överlinje \lambda$ $\lambda$

2. I enhetliga änddimensionella rum är matrisen för en självadjoint operatör Hermitian . (Särskilt i det euklidiska rymden är matrisen för en självadjoint operatör symmetrisk.)

Bevis

I ett enhetligt utrymme definieras den inre produkten som , där och är vektorernas koordinatkolumner och resp. Därför, enligt definitionen av en självadjoint operator, är uttrycken lika $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $x$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi} \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

och

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Därför, , som är definitionen av en hermitisk matris. $A^T = \överlinje A$

3. En hermitisk matris har alltid en ortonormal bas av egenvektorer — egenvektorer som motsvarar olika egenvärden är ortogonala.

Bevis Lemma 1. Egenrymden för en självadjoint transformation är parvis ortogonala. Bevis på Lemma 1: Det finns två distinkta egenvärden och . Följaktligen, för vektorer och från deras motsvarande egenrum, och håller . Alltså lika . Men egenvärdena för den självanslutna transformationen är verkliga och kan härledas från det sista uttrycket . Således, enligt definitionen av en självadjoint transformation, kan vi erhålla , varifrån, om egenvärdena är olika , är det klart att , vilket skulle bevisas.

\lambda

\mu

x

y

A\vänster( x \höger) = \lambda x

A\vänster( y \höger) = \mu y

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\left({x,y} \right) = 0

Lemma 2. Om ett delrum är invariant under den självtillgränsande transformationen , är det ortogonala komplementet till detta delrum också invariant under .

E'

A

A

Bevis för Lemma 2: Det är känt att bilden av vilken vektor som helst som hör till underrummet ligger i den. Därför, för vilken vektor som helst . Eftersom transformationen är självadjoint följer det att , det vill säga bilden av vilken vektor som helst från tillhör , vilket betyder att delrummet är invariant under transformationen A, vilket skulle bevisas.

x

E'

y \in \left( {E'} \right)^ \bot

\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0

A

\left({x,A\left( y \right)} \right) = 0

y

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

Bevis på egendom 3: Det finns minst ett egenvärde för en operator R i ett n-dimensionellt utrymme . Med egenskap 1 är detta egenvärde reellt. Man kan hitta motsvarande egenvektor e 1 . Utan förlust av allmänhet kan vi anta att . Om n=1 är beviset komplett.

\lambda_1

|e_1| = 1

Låt oss betrakta E 1 - den linjära enveloppen för elementet e 1 , som är ett endimensionellt invariant egentligt delrum av R. Låt E n-1 vara det ortogonala komplementet till E 1 . Sedan, enligt Lemma 2, är E n-1 invariant under den betraktade operatorn. Betrakta det nu som R', som endast agerar i E n-1 . Då är det uppenbart att det kommer att vara en självadjoint operator som ges i E n-1 , eftersom E n-1 är invariant under R av Lemma 2 och dessutom för x, y E n : (Rx, y) = (x, Ry), inklusive för x,y Е n-1 .

\för alla

\i

\för alla

\i

Genom att tillämpa ovanstående resonemang hittar vi ett nytt egenvärde och motsvarande egenvektor . Utan förlust av allmänhet kan vi anta att . I det här fallet kan det av misstag sammanfalla med , dock framgår det av konstruktionen att . Om n=2 är beviset komplett. Betrakta annars E - ett linjärt skal och dess ortogonala komplement E n-2 . Hitta ett nytt egenvärde och motsvarande egenvektor , och så vidare.

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Vi genomför liknande resonemang tills uttömningen av Е n . Beviset är komplett.

4. För en hermitisk operator A, determinanten det ||A|| dess matris är lika med produkten av egenvärdena.

Matriser

Det hermitiska konjugatet till den givna matrisen är matrisen som erhålls från den ursprungliga matrisen genom att transponera den och passera till det komplexa konjugatet, det vill säga . Detta är en naturlig definition: om vi skriver en linjär mappning och dess hermitiska konjugatoperator på valfri basis som matriser, så kommer deras matriser att vara hermitisk konjugat. En matris som är lika med dess hermitiska konjugation kallas hermitisk, eller självadjoint: för den . $A^{\dolk },$ $A$ $(A^{\dolk })_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\dolk }=A$

Applikation

Hermitiska operatörer spelar en viktig roll i kvantmekaniken , där de representerar observerbara fysiska storheter, se Heisenbergs osäkerhetsprincip .

Se även

Adjoint operatör